Un multivecteur est le résultat d'un produit défini pour les éléments d'un espace vectoriel V. Un espace vectoriel muni d'une opération linéaire de produit entre ses éléments est une algèbre; on peut compter parmi les exemples d'algèbres sur un corps celles des matrices et des vecteurs.F. E. Hohn, Elementary Matrix Algebra, Dover Publications, 2011H. Kishan, Vector Algebra and Calculus, Atlantic Publ., 2007L. Brand, Vector Analysis, Dover Publications, 2006. L'algèbre des multivecteurs est construite grâce au produit extérieur ∧ et est liée à l’algèbre extérieure des formes différentielles<ref name="Flanders">H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963</ref>.
L'ensemble des multivecteurs d'un espace vectoriel V est gradué par le nombre de vecteurs de la base de V qui forment un multivecteur de l’ensemble. Un multivecteur produit de p vecteurs de base est appelé multivecteur de grade p, ou p-vecteur. La combinaison linéaire de p-vecteurs de base forme un espace vectoriel noté Λp(V). Le grade maximal d'un multivecteur est la dimension de V.
Le produit d'un p-vecteur et d'un k-vecteur est un -vecteur, l'ensemble des combinaisons linéaires de tous les multivecteurs sur V est une algèbre associative et close par le produit extérieur. Cette algèbre, notée Λ(V), est appelée l'algèbre extérieure de V.
Définition
Soit
Si l'on se donne m vecteurs , on peut utiliser le produit extérieur pour former ce qu'on appelle un multivecteur ou encore m-vecteur :
Si l'on note , alors l'espace des m-vecteurs sur ℝ, noté usuellement Λℝ, est un espace vectoriel dont les éléments sont de la forme :
Un multivecteur est dit décomposable s'il peut être écrit comme produit extérieur de vecteurs de ℝ. Par exemple sur ℝ, c'est le cas de mais pas de .
Propriétés Cet espace est muni d'une base canonique qui est
donc sa dimension est le coefficient binomial .
De plus, cette base définit un produit scalaire sur cet espace.
Si m = n, alors
det
Interprétation
Si l'on prend une autre base orientée de P, son produit extérieur est un multiple positif de v.
Si est une base orthonormée, alors
si et seulement si ces vecteurs sont liés.
Notes et références Références
Articles connexes Bivecteur Algèbre extérieure Bibliographie , Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide Hassler Whitney, Geometric Integration Theory''
Catégorie:Algèbre multilinéaire