En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, topologie différentielle et théorie géométrique de la mesure, un courant au sens de Georges de Rham, traduit de Variétés différentiables : formes, courants, formes harmoniques, Hermann, Paris, 1955. est une forme linéaire sur l'espace des formes différentielles à support compact sur une variété lisse. Formellement, les courants ressemblent aux distributions, mais sur un espace de formes différentielles. Dans un cadre géométrique, ils peuvent représenter l'intégration sur des sous-variétés pouvant présenter des singularités. Le théorème de Stokes se généralise aux courants.
Définitions Soit M une variété lisse. Un courant de dimension m sur M (et de degré dim(M) – m) est une forme linéaire, sur l'espace Ω(M) des m-formes différentielles sur M à support compact, qui est continue au sens des distributionsPour une définition plus précise de la topologie adoptée sur Ω(M), voir ..
Soit l'espace vectoriel réel des m-courants sur M. On définit un opérateur de bord
par
On peut voir alors que les courants représentent une généralisation des sous-variétés. En effet, si N est une sous-variété compacte orientée de dimension m de M, on peut lui associer le courant [N] défini par
Le courant –[N] correspond à la variété –N (c'est-à-dire N munie de l'orientation opposée).
Alors, la définition du bord d'un courant est justifiée par le théorème de Stokes :
On définit le support du courant T, noté
comme étant le plus petit fermé C tel que
si le support de ω est disjoint de C.
On note le sous-espace vectoriel de des courants à supports compacts.
Exemples Puisque
un exemple de 0-courant est donné par la fonction δ de Dirac :
Plus généralement, toute mesure signée régulière est un 0-courant :
Soit (x, y, z) les coordonnées dans R3. Alors, un exemple de 2-courant à support compact est :
Topologie L'espace des m-courants possède naturellement une topologie faible-*, comme dual topologique des m-formes différentielles à support compact. Cela permet alors de définir la notion de convergence faible. On dit qu'une suite Tk converge faiblement vers T si
Il existe une norme plus forte sur l'espace des courants qui est la norme de masse.
Une norme intermédiaire existe aussi, la norme bémol.
À noter que deux courants sont proches : en norme de masse s'ils diffèrent d'une petite partie ; en norme bémol s'ils sont égaux à une petite déformation près.
Cas particuliers
désigne les courants rectifiables. désigne les courants intégraux :
désigne les integral flat chains (ou chaînes intégrales plates) :
désigne les chaînes polyédriques intégrales : c'est le sous-groupe additif de engendré par les simplexes orientés.
Notes et références et .
Voir aussi
Articles connexes Homologie singulière Cohomologie de De Rham
Bibliographie , Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide Hassler Whitney, Geometric Integration Theory
Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Topologie différentielle Catégorie:Théorie des distributions Catégorie:Théorie géométrique de la mesure