En analyse complexe, le théorème de RouchéJournal de l'École polytechnique, 1862, . est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.
Énoncé
Soit un ouvert simplement connexe, soient et deux fonctions méromorphes sur avec un ensemble fini de zéros et de pôles. Soit un lacet simple à image dans formant le bord d'un compact . Si pour tout point de , alors , où et sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans .
Exemple Considérons les deux fonctions polynomiales et définies par :
et considérons pour lacet le cercle . On vérifie que sur ce lacet :
et . On peut donc appliquer le théorème de Rouché :
puisque et n'ont pas de pôle. Par ailleurs, a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction admet trois zéros dans le disque ouvert .
Démonstration Si pour tout , alors et ne s'annulent pas sur (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit la fonction méromorphe sur , holomorphe et ne s'annulant pas sur définie par : . Pour tout point de , . L'image de par est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc : . D'autre part, . Par conséquent, . Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient .
Applications
Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre
Soit un polynôme à valeurs dans et défini par :
en supposant . Soit suffisamment grand pour que pour tout (cercle de rayon R) on ait :
(par exemple convient).
Étant donné que admet un zéro d'ordre à l'origine, doit admettre zéros dans le disque ouvert par application du théorème de Rouché.
Généralisations
Un siècle plus tard, Theodor Estermann T. Estermann, Complex Numbers and Functions, Athlone Press, London, 1962, p. 156. a affaibli l'hypothèse de Rouché, obtenant :
Références
Voir aussi Articles connexes Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes Bibliographie Michèle Audin, Analyse complexe, notes de cours de l'université de Strasbourg disponibles en ligne Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill
Rouche