Cet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d'obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l'article Relativité restreinte. thumb|Hendrik Lorentz en 1916.
Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point de l'espace-temps de Minkowski à quatre dimensions.
En relativité restreinte, elles correspondent aux lois de changement de référentiel galiléen pour lesquelles les équations de la physique sont préservées (notamment celles de l'électromagnétisme), et pour lesquelles la vitesse de la lumière demeure identique. Elles sont parfois considérées comme l'équivalent relativiste des transformations de Galilée de la mécanique newtonienne. Elles permettent de calculer, notamment, les effets de dilatation du temps ou de contraction des longueurs.
La forme la plus courante est :
Où et représentent les coordonnées d'un événement dans deux référentiels inertiels dont la vitesse relative est parallèle à l'axe des , est la vitesse de la lumière, et le facteur de Lorentz est .
Le terme « transformations de Lorentz » peut faire référence aux changements de coordonnées présentés ci-dessus, parfois nommés transformations de Lorentz spéciales ou boost de Lorentz, ou bien à un ensemble plus vaste nommé groupe de Lorentz. Ce groupe est constitué de l'ensemble des transformations linéaires compatibles avec les postulats de la relativité restreinte, c'est-à-dire celles qui laissent invariante la pseudo-norme de l'espace de Minkowski. Le groupe de Lorentz inclut non seulement les boosts de Lorentz pour toute direction arbitraire de l'espace, mais également les pivotements du repère d'espace, nommés rotations statiques. de l'espace.
Le groupe de Lorentz est lui-même un sous-groupe du groupe de Poincaré qui étend la définition précédente aux transformations affines, sans se limiter aux transformations linéaires. Le groupe de Poincaré permet ainsi de représenter l'ensemble des changements de repère autorisés en relativité restreinte, y compris ceux impliquant un décalage de l'origine du repère d'espace-temps.
L'éponyme des transformations est Hendrik Lorentz (-). Dans l'introduction de la publication « Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique »., Hendrik Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loiHenri Poincaré, Sur la dynamique de l'électron, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, vol. 140, p. 1504-1508, 5 juin 1905. Note manuscrite., en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, jugée imparfaiteLorentz écrit : Henri Poincaré, « Sur la dynamique de l'électron », Rendiconti del Ciorcolo matematico di Palermo, vol. 21, p. 129-176, 1906. Soumis le 23 juillet 1905..
Expression de la transformation Expression courante On considère deux référentiels galiléens et en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, tels que se déplace à la vitesse par rapport à suivant la direction de l'axe des . On note respectivement et les trois coordonnées spatiales et le temps permettant de repérer un même événement observé depuis chacun de ces référentiels.
Les transformations de Lorentz entre ces deux référentiels sont alors :
Transformation de Lorentz (direction )
avec et .
Le paramètre est constant pour une transformation donnée. C'est une grandeur algébrique, positive ou négative, dont la valeur absolue ne peut être égale ou supérieure à : (un déplacement dans le sens positif de l'axe des est compté positivement). Seules les vitesses subluminiques sont ainsi autorisées, et les valeurs possibles pour et sont donc : et .
Les transformations ne sont pas définies si est en dehors de ces limites. En effet, prend une valeur infinie pour et devient un nombre complexe pour . Les coordonnées de temps et d'espace étant des grandeurs mesurables, leur valeur est nécessairement décrite par un nombre réel.
Par ailleurs, en vertu du principe de relativité, aucun référentiel galiléen n'est privilégié par rapport à un autre. Par conséquent, les transformations pour passer de à doivent être de la même forme que celles permettant de passer de à . La seule différence est que se déplace à la vitesse par rapport à (la vitesse relative a la même norme mais est orientée dans le sens opposé). Les transformations inverses s'écrivent ainsi :
Transformation de Lorentz inverse (direction )
Les transformations de Lorentz sont ici présentées comme des transformations passives des coordonnées ; autrement dit, on compare la manière dont un même événement est observé depuis deux référentiels différents. Un autre point de vue consiste à les envisager comme des transformations actives qui n'affectent pas le référentiel mais le système physique lui-même. Les nouvelles coordonnées décrivent alors le phénomène tel qu'il serait observé si l'ensemble du système se trouvait embarqué dans un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse suivant l'axe des dans ce même référentiel.
Formes alternatives
En utilisant , on obtient une écriture plus symétrique des transformationsUne forme encore plus simple est parfois obtenue en posant , dans les systèmes d'unités naturelles. :
Pour un doublet d'événements, une forme portant sur les différences de coordonnées peut apparaître comme plus intéressante, car ce sont bien des longueurs et des intervalles de temps qui sont mesurés expérimentalement ou qui présentent un intérêt sur le plan physique. En notant et les différences de coordonnées entre deux événements observées depuis chaque référentiel, la linéarité des transformations de Lorentz entraîneJames H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions, 1968 ; édition avec exercices corrigés, 1979 ; réédité par Masson, Dunod, édition, 1997. :
En théorie quantique relativiste, l'inversion temporelle T et l'inversion spatiale P sont également admises. Les transformations de Lorentz qui laissent les équations de la physique invariantes (en l'absence de charge électrique) sont alors : où les indiquent s'il y a un changement d'orientation temporelle et/ou spatiale.
Plus généralement, toute transformation utilisée en physique quantique est de la forme , avec une transformation du groupe de Lorentz de la relativité restreinte (orthochrone et propre) et . Le groupe des transformations propres et orthochrones étant connexe, cette décomposition indique que le groupe de Lorentz est formé de quatre composantes connexes.
Expression sous forme matricielle
Sous forme matricielle, les transformations de Lorentz s'écrivent :
où la matrice notée satisfait les propriétés attendues suivantes : , ce qui signifie que la transformation préserve l'orientation de l'espace ; , où est la métrique de Minkowski , ce qui signifie que la matrice est pseudo-orthogonale et préserve la pseudo-norme de l'espace de Minkowski. La transformation inverse est donnée par :
Cette écriture sous forme de matrice 4×4 correspond à la représentation standard du groupe de Lorentz, notée (½,½). Les objets qui se transforment sous cette représentation sont des quadrivecteurs (ici, le quadrivecteur temps-position). D'autres représentations matricielles sont cependant possibles et permettent d'appliquer les transformations de Lorentz à des objets de nature différente (ex : champ électromagnétique, bispineurs de Dirac…).
Expression comme rotation hyperbolique
Des définitions et il découle . L'analogie avec la relation de trigonométrie hyperbolique permet de définir la rapidité en posant : et avec .
Toute transformation de Lorentz spéciale peut ainsi s'écrire :
Et la forme inverse :
La ressemblance avec une matrice de rotation dans l'espace ordinaire amène à voir toute transformation de Lorentz spéciale comme une rotation hyperbolique d'angle dans l'espace-temps de Minkowski (où est la rapidité). Cette « rotation » présente cependant la particularité d'affecter également la coordonnée temporelle. Le caractère pseudo-orthogonal des matrices de rotation met en évidence que ces transformations sont bien des isométries de l'espace de Minkowski.
Expression sous forme diagonalisée
Avec les définitions et propriétés des fonctions de la trigonométrie hyperbolique, on obtient une présentation un peu différente des transformations de Lorentz :
Soit, sous forme matricielle :
C'est une forme diagonalisée avec des choix de repères dont deux axes forment l'intersection du cône de lumière avec le plan (Oxt), ou (Ox't) pour l'autre repère, et qui sont impossibles à matérialiser dans l'espace physique à trois dimensions.
Expression pour une direction quelconque
Les transformations de Lorentz peuvent être généralisées à une direction quelconque de l'espace. Pour deux repères galiléens en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, tels que le mouvement relatif de par rapport à soit décrit par un vecteur vitesse et tels que les origines des deux repères soient confondues à , les transformations s'écrivent sous forme vectorielle :
Transformation de Lorentz (direction quelconque)
où et où et désignent les coordonnées spatiales observées depuis chaque référentiel. Ces formules doivent naturellement demeurer valables dans tous les référentiels inertiels. Le mouvement relatif de par rapport à étant décrit par le vecteur , la transformation inverse s'écrit par conséquent :
Transformation de Lorentz inverse (direction quelconque)
En écriture matricielle, on obtient :
avec :
Expression pour d'autres grandeurs
Quadrivecteurs
Bien que les transformations de Lorentz soient initialement présentées comme des changements de coordonnées de temps et d'espace, elles s'appliquent de manière plus générale à toute quantité physique pouvant être décrite par un quadrivecteur (un quadrivecteur étant par définition un vecteur de dimension quatre dont les composantes se transforment de la même manière que les coordonnées de temps et d'espace). Lors d'un changement de coordonnées, un quadrivecteur est donc transformé en par la relation matricielle linéaire :
où est une transformation de Lorentz exprimée en représentation standard par une matrice 4×4. Par ailleurs, en posant , avec , la pseudo-norme de tout quadrivecteur est donnée par et satisfait une relation de la forme :
indiquant que la norme du quadrivecteur est un invariant relativiste.
Quadrivecteur Quadrivecteur position Temps Vecteur position Quadrivecteur impulsion Energie Vecteur quantité de mouvement Quadrivecteur vitesseLe facteur intervenant dans la définition de la quadrivitesse n'est pas invariant lors d'un changement de référentiel. Vitesse de la lumière Vecteur vitesse Quadrivecteur force Puissance mécanique Vecteur force Quadrivecteur potentiel Potentiel électrique Potentiel vecteur magnétique Quadrivecteur densité de courant Densité de charges électriques Vecteur densité de courant Quadrivecteur d'onde Pulsation Vecteur d'onde Quadrivecteur spinLa coordonnée temporelle du quadrivecteur spin est fixée à 0 dans le référentiel propre de la particule. Un observateur en mouvement percevra cependant une valeur non nulle de et un spin altéré. () (valable uniquement pour les spin 1). - Spin
Il existe cependant des grandeurs qui ne peuvent s'écrire sous forme de quadrivecteur. C'est par exemple le cas pour le moment cinétique et également pour le champ électrique et le champ magnétique . Le moment cinétique est par définition et devient après un boost . Concernant les champs et , ils constituent deux aspects complémentaires du champ électromagnétique et ne peuvent donc être transformés de manière séparée. En prenant la force de Lorentz comme définition de ces champs, l'application du principe de covariance aux lois de l'électromagnétisme implique que l'expression doit conserver une forme identique après un changement de référentiel inertiel .