Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives En coordonnées cartésiennes
La vitesse du point situé en r s'écrit , et l'accélération .
En coordonnées cylindriques
. .
Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle : , .
En coordonnées sphériques
, ; , avec: ,
.
Changement de référentiel
Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel . Soit un autre référentiel, , dont l'origine est située au rayon vecteur s dans . Le rayon vecteur du point, déterminé dans est alors . Les vitesses du point peuvent être mesurées dans ou dans . Elles sont notées avec l'indice ou , de même que les accélérations. Vitesse d'entraînement :
Loi de composition des vitesses :
Accélération d'entraînement :
Accélération de Coriolis :
Loi de composition des accélérations :
Dynamique
Quelques forces
Poids :
Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:
Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:
Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
Frottement fluide :
Force d'inertie d'entraînement :
Force d'inertie de Coriolis:
Principe fondamental de la dynamique
Vecteur quantité de mouvement : (en général) Principe fondamental de la dynamique :
Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,
Aspect énergétique
Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
Travail le long d'un chemin :
Puissance :
On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
Énergie cinétique d'un point matériel :
Théorème de l'énergie cinétique :
Énergie mécanique :
Énergie potentielle pour quelques forces conservatives
Chacune de ces énergies est définie à une constante près Pesanteur : ..., ceci pour Ressort :
Force de Coulomb :
Gravitation :
Notion de Moment
Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
Par rapport à un autre point r'' :
Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
Par rapport à un autre point r'' :
Théorème du moment cinétique : .
Oscillateur
Oscillateur harmonique (sans amortissement)
Équation différentielle de la forme : . Pulsation propre :
Période propre:
Solution sous la forme : . Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Oscillateur avec facteur d'amortissement λ
Équation différentielle de la forme :
Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
, soit , alors (régime pseudo-périodique) Pseudo-pulsation :
Pseudo-période :
, soit , alors (régime critique) , soit , alors (régime apériodique) Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Articles connexes Mécanique Mécanique newtonienne
Catégorie:Mécanique classique Mecanique