En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et , qui l'ont démontré en 1922..
Il caractérise la fonction gamma définie sur (par ) comme étant la seule fonction de dans vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :
pour tout ; est logarithmiquement convexe (i.e. est une fonction convexe).
Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin, (traduction par Michael Butler de Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931).
Ce théorème se généralise à une grande variété de fonctions (ayant des propriétés de convexité ou de concavité de n'importe quel ordre)..
Démonstration La fonction gamma satisfait classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
Soit une fonction qui les satisfait aussi.
Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel et tout réel :
On utilise ensuite la convexité de pour en déduire :
En particulier, pour tout réel et tout entier :
En substituant , on obtient ainsi l'encadrement suivant pour Cette méthode, tirée de , est essentiellement celle d'Artin. : et (puisque satisfait les mêmes hypothèses) le même encadrement pour .
Or quand tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents. Par conséquent, ils tendent tous deux vers , auquel est donc égal.
Cette égalité, démontrée pour tout , s'étend à tout grâce à la deuxième condition, donc .
Remarque Cette démonstration prouve de plus que pour tout , toute suite équivalente aux bornes de l'encadrement ci-dessus tend vers . En particulier :
Comme précédemment, cette égalité s'étend à tout .
Notes et références
Voir aussi Article connexe Théorème de Wielandt Liens externes
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