En mathématiques, la transformée de Stieltjes d'une mesure à densité sur un intervalle est une fonction de la variable complexe z, définie à l'extérieur de cet intervalle par la formule :
Sous certaines conditions on peut reconstituer la densité d'origine à partir de sa transformée grâce à la formule d'inversion de Stieltjes-Perron. Par exemple, si la densité est continue sur , on aura à l'intérieur de cet intervalle :
Relations avec les moments de la mesure
Si la mesure de densité a des moments de tout ordre définis pour chaque entier naturel par l'égalité :
alors la transformée de Stieltjes de admet pour tout entier le développement asymptotique au voisinage de l'infini :
Sous certaines conditions on obtient le développement en série de Laurent :
Relations avec les polynômes orthogonaux
La correspondance définit un produit scalaire sur l'espace des fonctions à valeurs réelles continues sur .
On note la suite de polynômes, orthonormale pour ce produit scalaire, avec de degré pour tout entier, qui vérifie une relation de récurrence à trois termes successifs :
on peut en déduire facilement un développement en fraction continue généralisée de la transformée de Stieltjes en question dont les réduites successives sont les fractions ..:
On associe à la suite des polynômes secondaires définis par la relation :
On montre alors que la fraction rationnelle est un approximant de Padé de au voisinage de l'infini, au sens où
La transformée de Stieltjes se révèle également un outil précieux pour construire à partir de une mesure effective rendant les polynômes secondaires orthogonaux.
Références
Catégorie:Analyse (mathématiques) Catégorie:Théorie des probabilités Stieltjes