Sir Michael Francis Atiyah, né le à Londres et mort le , est un mathématicien anglais d'origine libanaise, fils de l'écrivain Edward Atiyah. Il est professeur à l'université d'Oxford, à l'université de Cambridge et à l'université de Princeton. Membre de la depuis 1962, il en est président de 1990 à 1995. Il est lauréat de la médaille Fields 1966, du prix Abel 2004 et de la Grande médaille de l'Académie française des sciences 2010. Biographie Les parents de Michael Atiyah, Jean Levens, fille d’un pasteur du Yorkshire d’origine écossaise et Edward Selim Atiyah, fils d'un médecin libanais et chrétien orthodoxe, se rencontrent lors de leurs études supérieures à l'université d'Oxford. Michal Atiyah est leur fils aîné. Il fait ses études primaires à Khartoum, au Soudan (1934–1941) et ses études secondaires au Caire et à Alexandrie (1941–1945). Il retourne ensuite en Grande-Bretagne étudier à la grammar school de Manchester, extrêmement réputée pour les mathématiques, où il prépare l’examen d’entrée à Cambridge qu’il réussit en 1947. Il choisit alors de faire deux ans de service national (écourtés dans son cas pour lui permettre d'assister à des cours d’été à Cambridge), pendant lesquels il sert dans le Royal Electrical and Mechanical Engineers (Corps des ingénieurs royaux en électricité et mécanique), mais en profite pour lire des mathématiques. Il entreprend à partir de 1949 des études supérieures à Trinity College (Cambridge), obtenant en 1955 un doctorat sous la direction de William Vallance Douglas Hodge. Il épouse la même année Lily Brown (1928-2018), une mathématicienne qui fait sa thèse avec Mary Cartwright à Girton College et a alors un poste à l’université de Londres ; ils ont trois fils. Atiyah obtient alors une bourse de recherches du pour passer l'année universitaire 1955-1956 à l' à Princeton, avec son épouse qui abandonne son poste pour l'accompagner. Il décrit cette année comme , une . Il rencontre à l'institut des mathématiciens dont les travaux jouent un rôle important dans son développement mathématique : Isadore Singer, Raoul Bott, Jean-Pierre Serre, Kunihiko Kodaira, Donald Spencer, Friedrich Hirzebruch. À son retour à Cambridge, Atiyah est assistant pendant un an, puis à l'université et de . En 1961, il part à l’université d’Oxford, où il est et à (1961–1963). Il est ensuite nommé professeur savilien de géométrie et à , où il reste six ans. Il retourne alors, avec un poste de professeur invité pour trois ans, à l’ de Princeton, avant de revenir à Oxford, cette fois comme de et . Dans les années 1990, Atiyah participe à la création de l’Institut Isaac-Newton pour les sciences mathématiques à Cambridge, dont il est le premier directeur de 1990 à 1996.. Finalement, à partir de 1997 et jusqu’à sa mort au début de 2019, Atiyah est professeur émérite à l’Université d'Édimbourg. Carrière et responsabilités Atiyah passe l'année académique 1955-1956 à l'Institute for Advanced Study, à Princeton, puis retourne à l'université de Cambridge, où il devient chercheur et assistant maître de conférences (1957-1958), puis maître de conférences et chargé de cours au Pembroke College, à Cambridge (1958-1961). En 1961, il s'installe à l'université d'Oxford, où il est lecteur et professeur au St Catherine's College (1961-1963). Il devient professeur de géométrie et professeur au New College (1963-1969). Il occupe pendant trois ans un poste de professeur à l'Institute for Advanced Study à Princeton, après quoi il retourne à Oxford en tant que Royal Society Research Professor et professorial fellow du New College. Puis en tant que professeur de la Royal Society et membre du St Catherine's College. Il a été président de la London Mathematical Society de 1974 à 1976. Michael Atiyah a exercé de nombreuses responsabilités, à différentes échelles. Localement, il a été Master (c'est-à-dire directeur) de Trinity College (Cambridge) de 1990 à 1997. (en même temps que directeur de l'Institut Isaac-Newton) et de l'université de Leicester de 1995 à 2005.. Nationalement, il est président de la de 1974 à 1976., de la de 1990 à 1995. et de la de 2005 à 2008.. Internationalement, il a joué un rôle important dans la création du Panel interuniversitaire sur les affaires internationales., de l'Association des Académies européennes (ALLEA) et de la Société mathématique européenne. Il a aussi présidé les Conférences Pugwash, en faveur du désarmement nucléaire, entre 1997 et 2002.. Recherches Collaborations droite|vignette|L'Institute for Advanced Study, à Princeton, où Atiyah a été professeur de 1969 à 1972. Il a collaboré avec de nombreux mathématiciens, en particulier avec Raoul Bott, Friedrich Hirzebruch et Isadore Singer, tous rencontrés à l'Institute for Advanced Study à Princeton en 1955. Il a fondé la K-théorie avec Hirzebruch. Son résultat le plus connu est le théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, qui peut être utilisé pour compter le nombre de solutions indépendantes de certaines équations différentielles. Plus récemment, il a travaillé sur des thèmes inspirés par la physique théorique, comme les instantons, utilisés dans la théorie quantique des champs. Parmi ses autres collaborateurs, on peut citer ; J. Frank Adams (problème de l'), Jürgen Berndt (plans projectifs), Roger Bielawski (problème de Berry-Robbins), Howard Donnelly (fonction L), Vladimir Drinfeld (instantons), Johan L. Dupont (singularités des champs de vecteurs), Lars Gårding (équation différentielle hyperbolique), Nigel Hitchin (monopôles), William V. D. Hodge (intégrales du second type), Michael Hopkins (K-théorie), Lisa Jeffrey (lagrangiens topologiques), John D. S. Jones (théorie de Yang-Mills), Juan Maldacena (théorie M), Yuri Manin (instantons), Nick Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (asymétrie spectrale), A. N. Pressley (convexité), Elmer Rees (faisceaux de vecteurs), Wilfried Schmid (représentations en séries discrètes), Graeme Segal (K-théorie équivariante), Alexander Shapiro (algèbres de Clifford), L. Smith (groupes d'homotopie de sphères), Paul Sutcliffe (polyèdres), David O. Tall (anneaux lambda), John A. Todd (manifold de Stiefels), Cumrun Vafa (M-théorie), Richard S. Ward (instantons) et Edward Witten (théorie M, théories quantiques topologiques des champs). Parmi les élèves d'Atiyah se trouvent Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966, et Graham White 1982. Parmi les mathématiciens contemporains ayant influencé Atiyah sont Roger Penrose, Lars Hörmander, Alain Connes et Jean-Michel Bismut. Atiyah a déclaré que le mathématicien qu'il admirait le plus était Hermann Weyl, et que ses mathématiciens préférés d'avant le étaient Bernhard Riemann et William Rowan Hamilton. Les sept volumes des documents rassemblés d'Atiyah comprennent la plupart de ses travaux, à l'exception de son manuel d'algèbre commutative ; les cinq premiers volumes sont divisés par thème et les sixième et septième par date. Géométrie algébrique (1952–1958) vignette|gauche|Une courbe cubique gauche, sujet du premier article d'Atiyah. Les premiers travaux de Atiyah sont consacrés à la géométrie algébrique. Encore étudiant, Atiyah s’intéresse à la géométrie projective classique et son premier article est une courte note sur la cubique gauche. En 1954, il gagne le prix Smith pour une approche en termes de faisceaux des surfaces réglées. Ce prix encourage d’ailleurs Atiyah à poursuivre en mathématiques, plutôt que se consacrer à d’autres sujets qui l’intéressent alors, l'architecture et l'archéologie. Dans sa thèse, sous la direction de WVD Hodge, Atiyah développe une approche en termes de faisceaux de la théorie de Solomon Lefschetz sur les intégrales de deuxième espèce des variétés algébriques. Il la soutient en 1955, sous le titre : (Quelques applications des méthodes topologiques en géométrie algébrique). Il est alors invité pour un an à l’ de Princeton. Pendant son séjour à Princeton, il classifie les fibrés vectoriels sur une courbe elliptique — une extension de la classification par Alexandre Grothendieck des fibrés sur une courbe de genre 0 : Atiyah montre que tout fibré vectoriel est somme de fibrés indécomposables, de manière essentiellement unique, puis que l’espace des fibrés de dimension positive et de degré donné s’identifie avec la courbe elliptique de base. Il étudie aussi les points doubles sur les surfaces et donne le premier exemple d’une transformation birationnelle des variétés algébriques de qui sera ensuite fondamentale pour le travail de Shigefumi Mori sur les modèles minimaux de ces variétés. K-théorie (1959–1974)
Les travaux d'Atiyah sur la K-théorie sont reproduits dans le volume 2 de ses œuvres rassemblées. L'exemple non trivial le plus simple d'un faisceau de vecteurs est le ruban de Möbius (illustrée à droite) : une bande de papier avec une torsion, qui représente un fibré de vecteurs de rang 1 sur un cercle (le cercle en question étant la ligne centrale de la bande de Möbius). La K-théorie est un outil permettant de généraliser cet exemple en dimensions supérieures, ou en d'autres termes de décrire des torsions en plus grande dimension : les éléments du K-groupe d'un espace sont représentés par des faisceaux de vecteurs sur cet espace, de sorte que la bande de Möbius représente un élément du K-groupe d'un cercle. La K-théorie topologique a été découverte par Atiyah et Friedrich Hirzebruchqui ont été inspirés par la preuve de Grothendieck du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch et les travaux de Bott sur le théorème de périodicité. Cet article ne concernait que le K-groupe de degré 0 ; ils l'ont étendu peu après aux K-groupes de tous les degrés<, donnant le premier exemple (non trivial) d'une . Plusieurs résultats ont montré que la K-théorie nouvellement introduite était d'une certaine manière plus puissante que la théorie cohomologique ordinaire. Atiyah et Todd ont utilisé la K-théorie pour améliorer les limites inférieures trouvées en utilisant la cohomologie ordinaire par Borel et Serre pour le nombre de James, décrivant quand une carte d'une variété de Stiefel complexe à une sphère a une section transversale. (Adams et Grant-Walker ont montré plus tard que la limite trouvée par Atiyah et Todd était la meilleure possible). Atiyah et Hirzebruch ont utilisé la K-théorie pour expliquer certaines relations entre les et les classes de Todd que Hirzebruch avait remarquées quelques années auparavant. La solution originale du problème de l'invariant de Hopf par J. F. Adams était longue et compliquée, utilisant des opérations de cohomologie secondaires. Atiyah a montré comment les opérations primaires de la K-théorie pouvaient être utilisées pour donner une solution courte ne prenant que quelques lignes, et dans un travail commun avec Adams a également prouvé des analogues du résultat pour les nombres premiers impairs. droite|vignette|250x250px|Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch (à droite), créateurs de la K-théorie. La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch relie la cohomologie ordinaire d'un espace à sa théorie de cohomologie généralisée (Atiyah et Hirzebruch ont utilisé le cas de la K-théorie, mais leur méthode fonctionne pour toutes les théories de cohomologie). Atiyah a montré que pour un groupe fini G, la K-théorie de son espace classificateur, BG, est isomorphe à la complétion de son anneau de caractères :