Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste... du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Description Pour un degré , il y a polynômes de Bernstein définis, sur l'intervalle , par , où les sont les coefficients binomiaux.
Les polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus .
Premiers polynômes Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont : n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
Propriétés
Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :
partition de l'unité :
positivité :
symétrie :
valeurs aux bords :
avec le symbole de Kronecker multiplicité des racines : pour , 0 est une racine de multiplicité et 1, une racine de multiplicité . formules de récurrence : pour , .
décomposition sur la base canonique :
et inversement
Lien avec la loi binomiale D'un point de vue probabiliste, pour tout , est la probabilité , où est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre . C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
Notes et références
Liens externes
Voir aussi Les courbes de Bézier sont construites à l'aide des polynômes de Bernstein Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues
Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Calcul numérique Bernstein Catégorie:Coefficient binomial