En informatique, l’IEEE 754 est une norme sur l'arithmétique à virgule flottante mise au point par l'Institute of Electrical and Electronics Engineers. La norme définit les formats de représentation des nombres à virgule flottante (signe, mantisse, exposant, nombres dénormalisés) et valeurs spéciales (infinis et NaN), en même temps qu’un ensemble d’opérations sur les nombres flottants. Elle décrit également cinq modes d'arrondi et cinq exceptions, comprenant les conditions dans lesquelles une exception se produit, et ce qui se passe dans ce cas.
Elle est la norme la plus employée actuellement pour le calcul des nombres à virgule flottante avec les CPU et les FPU.
Histoire La version d'origine de la norme IEEE 754, datant de 1985, définissait quatre formats pour représenter des nombres à virgule flottante en base 2 : simple précision (32 bits) : 1 bit de signe, 8 bits d'exposant (−126 à 127), 24 bits de mantisse, dont un bit 1 implicite ; simple précision étendue (≥ 43 bits) : obsolète, mis en œuvre en pratique par la double précision ; double précision (64 bits) : 1 bit de signe, 11 bits d'exposant (−1022 à 1023), 53 bits de mantisse, dont un bit 1 implicite ; double précision étendue (≥ 79 bits et souvent mis en œuvre avec 80 bits) : 1 bit de signe, 15 bits d'exposant (−16382 à 16383), 64 bits de mantisse, sans bit 1 implicite.
Par exemple, dans le langage C, le compilateur gcc pour les architectures compatibles Intel 32 bits utilise le format simple précision pour les variables de type float, double précision pour les variables de type double, et la double précision ou la double précision étendue, selon le système d'exploitation, pour les variables de type long double.
Cependant, si l'extension SSE2 n'est pas utilisée, tous les calculs sont arrondis à la même précision, suivant la configuration de la précision dynamique du processeur. En général, double précision ou double précision étendue, suivant le système d'exploitation, les options de compilation, et les changements effectués par les programmes.
Le titre complet de la norme était IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985) (norme IEEE pour l'arithmétique binaire en virgule flottante). Elle est aussi connue sous le nom « »., ce qui en fait aussi une norme (américaine), approuvée depuis comme référence normative dans plusieurs normes internationales de l’ISO.
Cependant cette norme a été étendue par une révision majeure en 2008 à d‘autres formats de base (binaire sur 128 bits et décimaux sur 64 et 128 bits) ainsi que des formats d'échange (ajoutant des formats soit moins précis, soit plus précis) et des formats étendus (généralisation de la norme de 1985, avec plus de liberté sur la précision et l'encodage qu'avec les formats d'échange) , . ; cette révision inclut également des modes d'arrondis supplémentaires et des exigences de conformité plus poussées concernant la précision attendue des opérations et calculs de fonctions transcendantes de base. Cette norme a également été révisée en 2019.
Format d'un nombre en virgule flottante Conventions utilisées dans l'article Dans un mot de longueur W, les bits sont indexés de 0 à W−1 inclus. Le bit 0 est placé à droite, il représente le bit de poids faible, c’est-à-dire le bit des unités, qui provoque la plus petite variation quand il est modifié.
Format général Un nombre flottant est formé de trois éléments : la mantisse, l'exposant et le signe. Le bit de poids fort est le bit de signe : si ce bit est à 1, le nombre est négatif, et s’il est à 0, le nombre est positif. Les e bits suivants représentent l'exposant biaisé, sauf valeur spéciale. Les m bits suivants, m bits de poids faible, représentent la mantisse.
vignette|Format général de représentation des flottants. Signe Exposant biaisé Mantisse (1 bit) (e bits) (m bits)
Biais de l'exposant L'exposant peut être positif ou négatif. Cependant, la représentation habituelle des nombres signés (complément à 2) rendrait la comparaison entre les nombres flottants un peu plus difficile. Pour régler ce problème, l'exposant est « biaisé », afin de le stocker sous forme d'un nombre non signé.
Ce biais est de 2 − 1 (e représente le nombre de bits de l'exposant) ; il s'agit donc d'une valeur constante une fois que le nombre de bits e est fixé.
L'interprétation d'un nombre (autre qu'infini) est donc : valeur = signe × mantisse × 2 avec signe = ±1 biais = 2−1
Exceptions Le bit de poids fort de la mantisse est déterminé par la valeur de l'exposant biaisé. Si l'exposant biaisé est différent de 0 et de , le bit de poids fort de la mantisse est 1, et le nombre est dit « normalisé ». Si l'exposant biaisé est nul, le bit de poids fort de la mantisse est nul, et le nombre est dénormalisé.
Il y a trois cas particuliers : si l'exposant biaisé et la mantisse sont tous deux nuls, le nombre est ±0 (selon le bit de signe) si l'exposant biaisé est égal à , et si la mantisse est nulle, le nombre est ±infini (selon le bit de signe) si l'exposant biaisé est égal à , mais que la mantisse n'est pas nulle, le nombre est NaN (not a number : pas un nombre).
Nous pouvons le résumer ainsi :
Type Exposant biaisé Mantisse Zéros 0 0 Nombres dénormalisés 0 différente de 0 Nombres normalisés à quelconque Infinis 0 NaNs différente de 0
Format simple précision (32 bits) right|alt=Représentation simple précision flottants IEEE 754|Format de représentation des flottants en simple précision Un nombre flottant simple précision est stocké dans un mot de 32 bits : 1 bit de signe, 8 bits pour l'exposant et 23 pour la mantisse.
L'exposant est donc biaisé de dans ce cas. L'exposant d'un nombre normalisé va donc de -126 à +127. L'exposant -127 (qui est biaisé vers la valeur 0) est réservé pour zéro et les nombres dénormalisés, tandis que l'exposant 128 (biaisé vers 255) est réservé pour coder les infinis et les NaN (voir le tableau précédent).
Un nombre flottant normalisé a une valeur v donnée par la formule suivante : v = s × 2 × m. s = ±1 représente le signe (selon le bit de signe) ; e est l'exposant avant son biais de 127 ; m = 1+mantisse représente la partie significative (en binaire), d'où 1 ≤ m < 2 (mantisse étant la partie décimale de la partie significative, comprise entre 0 et 1)
Par exemple pour 0b 0 01111100 01000000000000000000000 : le signe est positif, l'exposant est 124 − 127 = −3, et la partie significative est 0b 1,01 soit 1,25 en décimal (1 × 2 + 0× 2 + 1 × 2) ; le nombre représenté est donc +1,25 × 2 soit +0,15625.
Les nombres dénormalisés suivent le même principe, sauf que e = −126 et m = 0+mantisse (attention : pour le calcul, on veillera à prendre e = −126 et non −127, ceci afin de garantir la continuité de cette représentation avec la représentation normalisée, puisque m = 0+mantisse et non plus m = 1+mantisse).
Remarques : Il y a deux zéros : +0 et −0 (zéro positif et zéro négatif), selon la valeur du bit de signe ; Il y a deux infinis : +∞ et −∞, selon la valeur du bit de signe ; Les zéros et les nombres dénormalisés ont un exposant biaisé de -127 + 127 = 0 ; tous les bits du champ « exposant » sont donc à 0 ; Les NaNs et les infinis ont un exposant biaisé de 128+127=255 ; tous les bits du champ « exposant » sont donc à 1 ; Les NaNs peuvent avoir un signe et une partie significative mais ceux-ci n'ont aucun sens en tant que valeur réelle (sauf pour la signalisation, qui peut activer une exception, et la correction d'erreurs) ; Le nombre dénormalisé non nul le plus proche de zéro est ± 2 ≈ ± ; Le nombre normalisé non nul le plus proche de zéro est ± 2 ≈ ± ; Le nombre normalisé dont la valeur absolue est la plus grande est ± (2−2) × 2 ≈ ± .
Voici un tableau résumant la partie précédente, avec des exemples de nombres 32 bits simple précision. Type Exposant Mantisse Valeur approchée Écart / préc Zéro 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 0,0 Plus petit nombre dénormalisé 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0001 Nombre dénormalisé suivant 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0010 Nombre dénormalisé suivant 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0011 Autre nombre dénormalisé 0000 0000 100 0000 0000 0000 0000 0000 Plus grand nombre dénormalisé 0000 0000 111 1111 1111 1111 1111 1111 Plus petit nombre normalisé 0000 0001 000 0000 0000 0000 0000 0000 Nombre normalisé suivant 0000 0001 000 0000 0000 0000 0000 0001 Presque le double 0000 0001 111 1111 1111 1111 1111 1111 Nombre normalisé suivant 0000 0010 000 0000 0000 0000 0000 0000 Nombre normalisé suivant 0000 0010 000 0000 0000 0000 0000 0001 Presque 1 0111 1110 111 1111 1111 1111 1111 1111 =2 1 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000 Nombre suivant 1 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0001 =2 Presque le plus grand nombre 1111 1110 111 1111 1111 1111 1111 1110 Plus grand nombre normalisé 1111 1110 111 1111 1111 1111 1111 1111 Infini 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000 Infini Première valeur (dénormalisée) de NaN avertisseur 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0001 NaN NaN normalisé (avertisseur) 1111 1111 010 0000 0000 0000 0000 0000 NaN Dernière valeur (dénormalisée) de NaN avertisseur 1111 1111 011 1111 1111 1111 1111 1111 NaN Première valeur (dénormalisée) de NaN silencieux 1111 1111 100 0000 0000 0000 0000 0000 NaN Dernière valeur (dénormalisée) de NaN silencieux 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 1111 NaN
Notes : La valeur du champ mantisse de NaN présentée ci-dessus est un exemple de NaN, mais n'est pas la seule valeur possible pour coder une valeur NaN. Les valeurs de ce champ codant NaN sont toutes les valeurs possibles, sauf zero (qui code l'infini) ; De plus, il est à noter la différence, sur la plupart des machines, entre un champ mantisse commençant par le bit 1, utilisé pour les NaN silencieux, et un champ mantisse commençant par le bit 0, indiquant un NaN avec avertissement. Sur certaines machines cependant, comme celles à base de PA-RISC, le choix inverse (moins pratique) a été fait « », 15 octobre 2010..
Exemple complexe Codons le nombre décimal −118,625 en utilisant le mécanisme IEEE 754.
Premièrement, nous avons besoin du signe, de l'exposant et de la partie fractionnaire. C'est un nombre négatif, le signe est donc « 1 ». Puis nous écrivons le nombre (sans le signe) en binaire. Nous obtenons 1110110,101 (avec multiplications par deux successives pour la partie décimale). Ensuite, nous décalons la virgule vers la gauche, de façon à ne laisser qu'un 1 sur sa gauche : 1110110,101 (bin) = 1,110110101 (bin) × 2. C'est un nombre flottant normalisé : la mantisse est la partie à droite de la virgule, complétée de 0 vers la droite pour obtenir 23 bits. Cela donne 110 1101 0100 0000 0000 0000 (on omet le 1 avant la virgule, qui est implicite). L'exposant est égal à 6, et nous devons le convertir en binaire et tenir compte du biais. Pour le format 32-bit IEEE 754, le biais est 2−1 = 127. Donc 6 + 127 = 133 (dec) = 1000 0101 (bin).
On a donc −118,625 (dec) = 1100 0010 1110 1101 0100 0000 0000 0000 (bin) = C2ED4000 (hexa).
Format double précision (64 bits) right|alt=Représentation double précision flottants IEEE 754|Format de représentation des flottants en double précision Le format double précision est similaire au simple précision, mis à part le fait que les champs sont plus grands. En effet, il possède 52 bits de mantisse au lieu de seulement 23, et 11 bits d'exposant au lieu de seulement 8.
La mantisse est très élargie, alors que l'exposant est peu élargi. Ceci est dû au fait que, selon les créateurs de la norme, la précision est plus importante que l'amplitude.
Les NaN et les infinis sont représentés en mettant tous les bits de l'exposant à 1 (2047), mais distingués en mettant la totalité des 52 bits de la mantisse à 0 pour les infinis et au moins un de ces 52 bits à 1 pour les NaN.