En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitéeStella Baruk, « Plan » dans le Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, Paris 1995., munie de notions d’alignement, d’angle et de distance, et dans laquelle peuvent s’inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles. Il sert ainsi de cadre à la géométrie plane, et en particulier à la trigonométrie lorsqu’il est muni d’une orientation, et permet de représenter l’ensemble des nombres complexes.
Un plan peut aussi se concevoir comme partie d’un espace tridimensionnel euclidien, dans lequel il permet de définir les sections planes d’un solide ou d’une autre surface. Plus généralement, un plan apparait en géométrie vectorielle et géométrie affine, comme un sous-espace de dimension 2, abstraction faite des notions d’angle et de distance. En définissant ces structures sur d’autres corps que celui des nombres réels, le concept de plan se résume à une structure d’incidence satisfaisant le théorème de Desargues.
En géométrie projective, le plan est complété par une droite à l'infini pour obtenir un plan projectif, comme le plan de Fano. Cette structure définit une géométrie non euclidienne comme dans le plan hyperbolique.
Définitions Premières approches En géométrie classique, la définition d'un plan est axiomatique et vise à idéaliserLa géométrie - histoire et épistémologie, chap 27: élaboration d'objets idéaux dans Culturemath.ens.fr les représentations physiques de surfaces planes (table, tableau, feuille...). On trouve une définition axiomatique du plan chez Euclide, vers 300 ans avant Jésus-Christ, qui définit une surface comme Euclide, Éléments, Livre 1, définition 7 et précise alors dans sa définition 7 :
Plusieurs siècles plus tard, Denis Henrion, dans sa traduction et commentaires des Éléments, tente d'expliciter le sens de « également placée entre ses lignes droites » D. Henrion, Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant, livre Premier, définition 7. indiquant que c'est une surface dont toutes les parties du milieu ne sont plus élevées ni abaissée que les extrêmes, que c'est la surface la plus courte parmi celles ayant mêmes extrêmes, que les parties du milieu y ombrage les parties extrêmes. Il explique que, si par un point quelconque d'une surface , on peut faire tourner une droite en restant dans la surface, alors cette surface est plane.
Cette même idée transparaît dans la définition d'Adrien-Marie Legendre dans ses Éléments de GéométrieAdrien Marie Legendre, Eléménts de géométrie - Livre Premier. Définitions 5 et 6, 1840 (1790) :
ou bien dans cette définition de La Petite encyclopédie des mathématiques. (1980) :
Repérage cartésien Au , la géométrie analytique de Descartes et Fermat décrit tous les points du plan par des couples de coordonnées. En langage mathématique contemporain, le plan est alors en bijection avec l’ensemble , de sorte que la distance entre deux points corresponde à la norme euclidienne illustrant le théorème de Pythagore.
De même, en représentant l’espace comme l’ensemble des triplets de nombres réels, un plan est l’ensemble des solutions d’une équation cartésienne de la forme , où les coefficients ne sont pas tous nuls. Les plans apparaissent ainsi comme les surfaces de niveau d’une forme linéaire dans l’espace.
Présentation algébrique Le développement de l'algèbre linéaire au permet une définition du plan à l'aide du concept d'espace vectoriel et de dimension sur un corps :
C’est le cas, par exemple, de l’ensemble des nombres complexes, l’ensemble des fonctions affines, l’ensemble des suites satisfaisant une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 de la forme (comme celle de la suite de Fibonacci), ou l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire d'ordre 2 de la forme sur un intervalle donné.
Cette présentation implique l’existence d’un point et de deux vecteurs et tel que les points du plan soient les points satisfaisant une égalité vectorielle de la forme , où et décrivent tous deux le corps des scalaires. On dit alors que le triplet est un repère cartésien du plan, et on utilisera cette présentation dans la suite de l’article.
Le plan de la géométrie classique se réalise dans un espace affine sur le corps des nombres réels. Mais de nombreuses constructions géométriques gardent du sens sur d’autres corps, en particulier sur des corps finis.
Structure d'incidence À la fin du , après la découverte des géométries non euclidiennes, un mouvement se dessine pour axiomatiser encore davantage la géométrie en cherchant à la vider de son contenu ontologique. David Hilbert, dans son Grundlagen der Geometrie (Base de la géométrie), définit points, droites et plans de l'espace par les relations qui les unissent (les axiomes d'incidences):
Une réduction des axiomes de Hilbert permet de fonder la géométrie plane en dehors du contexte de la géométrie dans l'espace :
La structure d’incidence ainsi définie est satisfaite par tous les espaces affines de dimension 2 quel que soit le corps sous-jacent, mais aussi par d’autres structures comme le plan de Moulton.
Hilbert identifie que le théorème de Desargues de la géométrie classique se déduit d’autres axiomes mais pas de ceux d’incidence dans le plan, alors qu’il se formule uniquement en termes d’incidence. En l’introduisant comme axiome supplémentaire, il caractérise en fait tous les espaces affines de dimension 2. Et en le remplaçant par le théorème de Pappus, on obtient une caractérisation de tous les espaces affines sur des corps commutatifs.
Relations entre droites et plans Position relative Deux plans Dans un espace affine de dimension 3, il n'existe que deux positions relatives de deux plans : ils peuvent être parallèles, autrement dit de même direction, ce qui recouvre deux cas : les deux plans sont confondus ou ils sont disjoints (et qualifiés de strictement parallèles) ; ils peuvent être sécants : leur intersection est alors une droite.
Cette disjonction est particulière à l’espace tridimensionnel. En dimension plus grande, deux plans peuvent avoir un seul point d’intersection, ou être disjoints sans être parallèles.
La direction est facile à comparer à partir des équations cartésiennes :
Ces vecteurs sont respectivement des vecteurs normaux aux plans dans une base orthogonale, ou encodent dans la base duale des formes linéaires dont les plans sont des surfaces de niveau.
Droite et plan Étant donné un plan de l’espace, une droite de cet espace peut être : incluse dans le plan ; sécante en un point ; disjointe du plan, et dans ce cas elle est strictement parallèle au plan.
L’inclusion dans un espace affine de plus grande dimension ne fournit pas d’autre position relative d’une droite et d’un plan.
Propriétés Le théorème du toit stipule que si une droite d’un plan est parallèle à une droite d’un autre plan sécant au premier, alors ces droites sont parallèles à l’intersection des deux plans.
Trois plans sécants deux à deux ont des droites d’intersection qui sont nécessairement toutes parallèles ou concourantes.
Angle Dans l’espace tridimensionnel euclidien, le produit scalaire permet de définir l’angle entre deux vecteurs non nuls. Étant donné deux vecteurs non colinéaires d’un plan, le produit vectoriel montre l’existence d’un vecteur orthogonal à et (et donc à tout autre vecteur reliant deux points du plan) qualifié de vecteur normal au plan. Ce vecteur est unique à multiplication près par un scalaire.
Deux plans sécants délimitent des dièdres dont l’angle varie entre l’angle nul et l’angle plat, et qui correspond à l’angle entre leurs vecteurs normaux. Si ces vecteurs normaux sont eux-mêmes orthogonaux, les plans sont dits perpendiculaires. Ils ne sont pas dits orthogonaux, car il existe des vecteurs non nuls représentés à la fois dans l’un et dans l’autre (par exemple, des vecteurs dirigeant leur intersection dans le cas de deux plans sécants).
Distances La distance entre deux plans, ou entre un plan et une droite, est la distance minimale entre un point de l’un et un point de l’autre. Ce minimum vaut 0 si les deux ensembles sont d’intersection non vide, et est atteint le long de segment orthogonaux aux deux ensembles dans le cas contraire.
Utilisations Représentation de relation entre deux variables Le plan est le support de représentation visuelle et permet d’apprécier une relation entre deux variables numériques.
Si chaque valeur de la première variable ne correspond qu’à une valeur (au plus) de la seconde, la relation est dite fonctionnelle, et le graphe de la relation est une courbe représentative de la fonction.
Lorsque les deux variables sont décrites par un échantillon statistique, la relation est représentée par un nuage de points.
Lorsque les deux variables sont elles-mêmes fonctions d’une variable tierce, en particulier d’une variable temporelle, leur relation est illustrée par une trajectoire, éventuellement obtenue par une équation différentielle. En particulier, l’étude des relations entre l’évolution d’une grandeur et sa dérivée temporelle donne lieu à la représentation d’un portrait de phase.
Symétrie Une symétrie (orthogonale) par rapport à un plan est une transformation géométrique qui à tout point du plan associe l’unique point tel que le segment soit orthogonal au plan en son milieu.
La composée de deux symétries par rapport à deux plans sécants est une rotation autour de leur droite d’intersection, d’angle le double de l’angle dièdre.
La composée de deux symétries par rapport à deux plans parallèles est une translation d’un vecteur normal aux deux plans et de norme le double de la distance entre les plans.
Une telle symétrie est caractéristique des espèces animales bilatères.
Projection Une projection (affine) sur un plan, parallèlement à une droite sécante au plan, est une transformation géométrique qui associe à tout point l’unique point d’intersection entre le plan et la parallèle à passant par . Si la droite est orthogonale au plan, on parle alors de projection orthogonale.
Une telle projection idéalise le phénomène de l’ombre sur un support plan dans le cas d’un éclairage à l’infini (qui est une bonne approximation de l’éclairage du Soleil). La projection affine sur un plan régit aussi la représentation en perspective cavalière. On l’utilise également en plus grande dimension pour visualiser un nuage de données, notamment à l’aide de l’analyse en composantes principales.
Section Une section plane d’une figure de l’espace est simplement l’intersection de cette figure avec un plan. Cette notion permet de visualiser des structures mathématiques ou concrètes comme en architecture, en physique, chimie et biologie, notamment avec l’utilisation de scanner tridimensionnel.
Changement de représentation Dans un cadre affine Les axiomes d’incidence de Hilbert mettent en évidence différentes caractérisations d’un plan dans un espace affine. Il existe un unique plan : contenant trois points non alignés ; contenant une droite et un point n'appartenant pas à cette droite ; contenant deux droites sécantes ; contenant deux droites non confondues et parallèles.
La première caractérisation permet d’obtenir simplement chacune des suivantes, et réciproquement.
À partir de trois points ,, non alignés, on peut définir un repère . Réciproquement, tout repère peut s’écrire sous cette forme.
Étant donné un repère du plan, on obtient une représentation paramétrique de la forme . En dimension 3, si l’on note , et , on obtient les équations paramétriques avec . Réciproquement, toute représentation paramétrique affine permet de retrouver les coordonnées du point origine (en annulant les paramètres) et des deux vecteurs directeurs (facteurs des paramètres dans chacune des trois équations).