En topologie et en analyse, le théorème d'interversion des limites s'applique à une fonction d'un espace produit dans un espace complet.
Énoncé Soient X et Y deux espaces topologiques, E un espace métrique complet, a un point adhérent dans X à une partie A, b un point adhérent dans Y à une partie B et f une application de A × B dans E. On suppose qu'il existe des applications g : A → E et h : B → E telles que uniformément sur A et simplement sur B. Alors f possède une limite au point (a, b) ; en particulier, les limites de h en b et de g en a existent et sont égales : Pour une démonstration — qui s'appuie sur le critère de Cauchy pour une fonction — voir par exemple Ce théorème a été démontré dans le cas où X et Y sont des espaces métriques par , mais d'abord, dans le cas par , qui l'attribue à E. H. Moore (1900, manuscrit non publié) et W. S. Osgood (1907, cas particulier des suites doubles)..
Corollaire Le cas particulier B = ℕ, b = et Y = ℕ ∪ {} muni de la topologie de l'ordre ou de la topologie cofinie (pour lesquelles les voisinages sont les mêmes) donne :
Notes et références
Interversion limites