En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.

Ce résultat est évoqué de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss. Félix LucasNe pas confondre avec Édouard Lucas. énonce et prouve ce résultat dans une communication à l'Académie des Sciences de 1879Félix Lucas, « Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations », C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX, 1879, , ..

Motivation

Il est facile de remarquer que si est un polynôme du second degré, le zéro de est la demi-somme des zéros de :

Par ailleurs, si un polynôme de degré à coefficients réels admet zéros réels distincts , on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle .

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Énoncé

Soit un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de  ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de .

Preuve

Soit la décomposition de en facteurs irréductibles : le complexe est le coefficient dominant du polynôme, les complexes en sont les zéros distincts, les entiers leurs multiplicités respectives.

On a alorsVoir Dérivée logarithmique. :

.

En particulier, ,

ce qui s'écrit aussi

.

En prenant les conjugués, on voit que est un barycentre à coefficients positifs des .

Le cas où est aussi zéro de est évident.

Notes et références Notes

Références

Voir aussi Articles connexes Théorème de Marden Théorème de Sturm Conjecture d'Iliev-Sendov Bibliographie

Theoreme de Gauss-Lucas Gauss-Lucas Catégorie:Géométrie convexe Catégorie:Carl Friedrich Gauss Catégorie:Polynôme