En algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire de cet espace vers son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne. Dans le cadre du calcul tensoriel, une forme linéaire est aussi appelée covecteur, en lien avec l’action différente des matrices de changement de base.
L’ensemble de ces formes linéaires constitue aussi un espace vectoriel appelé espace dual, qui peut éventuellement être restreint au dual topologique des formes linéaires continues si l’espace source est un espace vectoriel topologique. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par exemple dans la théorie des distributions, ou dans l'étude des espaces de Hilbert.
Définition Soit un espace vectoriel sur un corps commutatif . Une forme linéaireN. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-40. sur (ou covecteurLes termes forme linéaire et covecteurs sont cités dans l'exemple 3 page 189 de Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966. de ) est une application de dans qui est linéaire, c'est-à-dire qui vérifie :
Exemples L'application constante sur de valeur s'appelle la « forme linéaire nulle sur ». L'applicationest une forme linéaire sur ℝ. Plus généralement, les formes linéaires sur K sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme :où sont les composantes du vecteur . En particulier, les formes linéaires sur l'espace de matrices M(K) sont les applications qui peuvent s'écrire sous la forme (M) = Tr(MN), où Tr est l'application trace et N est une matrice fixée de M(K). Sur l'espace des applications continues de dans ℝ, l'intégration est une forme linéaireRoger Godement, Cours d'Algèbre, , exemple 6.. Si (Ω) est le ℂ-espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont intégrables sur l'espace mesuré Ω, alors l'intégrale est une forme linéaire sur (Ω). Cela signifie que Toute évaluation d'une fonction. Exemple : l'application qui à une fonction associe sa valeur en un point (φ(f)=f(2) par exemple) ou la valeur de sa dérivée en un point. Toute combinaison linéaire des coordonnées du vecteur. Exemple : la fonction qui renvoie une coordonnée ou la trace d'une matrice. La counité d’une coalgèbre est une forme linéaire.
Représentations matricielles
L'écriture ci-dessus des formes linéaires sur ℝ, où les composantes d'un vecteur étaient ses coordonnées dans la base canonique, peut s'interpréter comme un produit matriciel de la matrice ligne par la matrice colonne représentant ce vecteur :
Plus généralement, si est un -espace vectoriel de dimension finie n, une base de E étant donnée, les n coordonnées dans cette base d'un vecteur sont ordonnées sous forme de vecteur colonne :
Toute forme linéaire sur est alors représentée par une matrice ligne à n composantes :
ce qui signifie que
Selon la convention de sommation d'Einstein, ce résultat peut se noter et est un scalaire (en réalité une matrice (1, 1)).
Propriétés Si est une forme linéaire non nulle, alors : est surjective, c'est-à-dire que son image est égale au corps de base ; son noyau est un hyperplan de , c'est-à-dire que les supplémentaires de sont des droites vectorielles. Réciproquement, tout hyperplan de est le noyau d'au moins une forme linéaire (ipso facto non nulle).
Si est une forme linéaire non nulle, alors est un hyperplan.En effet, les supplémentaires de sont isomorphes au quotient , or induit un isomorphisme de ce quotient vers . Si est un hyperplan de , il existe au moins une forme linéaire de noyau .En effet, la donnée d'un tel équivaut à celle d'un morphisme injectif de vers c'est-à-dire, si est un vecteur directeur de la droite , au choix d'un scalaire non nul .
Une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leursVoir la démonstration de , ou celles de ou de . En particulier, deux formes non nulles sont proportionnelles si (et seulement si) elles ont pour noyau le même hyperplan.
Espace dual L'ensemble des formes linéaires sur est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de dans . On l'appelle le dual de et il est noté ou .
On note parfois (où ) pour . Cette notation est appelée crochet de dualité.
Bases duale et antéduale Si est de dimension finie , la représentation matricielle ci-dessus met en évidence que est aussi de dimension finie donc isomorphe à . Cependant, il n'y a pas d'isomorphisme canonique dans le sens où si est quelconque, il est nécessaire de se donner une base arbitraire afin de pouvoir définir un isomorphisme le reliant à . Si une base de , on définit sur celle-ci les formes linéaires notées par :
(où est le symbole de Kronecker, c'est-à-dire valant 1 si et 0 sinon).
Ces formes linéaires sont aussi appelées les projections des coordonnées, l'image d'un vecteur par n'est autre que la i-ème coordonnée du vecteur dans la base . Le résultat important est que la famille de formes linéaires forme une base de ; on appelle aussi cette base la base duale de la base .
Inversement, si l'on se donne une base de , il existe une unique base de telle que :
La base s'appelle la base antéduale de la base .
Formes linéaires continues Si l'on considère un espace vectoriel normé sur le corps = ℝ ou ℂ, alors on sait définir la notion de continuité de n'importe quelle application de dans ou même dans un autre espace vectoriel normé . On démontre dans le § « Opérateur borné » de l'article sur les espaces vectoriels normés l'équivalence entre diverses caractérisations de la continuité d'une application linéaire (entre autres : elle est continue si et seulement si elle est bornée sur la boule unité). Si est de dimension finie, toute application linéaire de dans est continue. Si est de dimension quelconque mais si , on dispose du critère suivant :
(Alors que pour qu'une application linéaire de dans un espace de dimension infinie soit continue, cette condition — évidemment nécessaire — n'est pas suffisante.)
Les hyperplans fermés sont donc exactement les noyaux de formes linéaires continues non nulles. Les autres hyperplans (les noyaux de formes linéaires discontinues) sont denses.
Il est facile de trouver des exemples concrets de , sur des espaces vectoriels normés non complets. Par exemple, sur l'espace des fonctions continues de [–1, 1] dans K et dérivables en 0, muni de la norme de la convergence uniforme, la forme linéaire f ↦ f'''(0) n'est pas continue. En revanche, dans certains modèles de la théorie des ensembles sans axiome du choix, toute forme linéaire sur un espace de Banach est continue. Inversement, avec l'axiome du choix, on peut construire, sur tout espace vectoriel normé E de dimension infinie, une forme linéaire non continue : il suffit de choisir une suite de vecteurs unitaires e linéairement indépendants, de la compléter, par une famille (f), en une base de E, et de poser φ(e) = n et (par exemple) φ(f'') = 0.
Le sous-espace vectoriel de constitué des formes linéaires continues est appelé le dual topologique de et noté .
Cas des espaces de Hilbert On suppose ici que est un espace de Hilbert (réel ou complexe), dont on note le produit scalaire.
Le théorème de représentation de Riesz exprime toute forme linéaire continue sur via le produit scalaire ; précisément :
Notes et références
Articles connexes Composantes covariantes et contravariantes Pseudovecteur Application linéaire continue Dual d'un espace vectoriel topologique Séparation des convexes
Catégorie:Application linéaire Catégorie:Espace vectoriel