Le lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie et cohomologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne. Ce résultat est un outil important pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les morphismes ainsi construits sont généralement appelés « morphismes connectants ».
Énoncé Dans une catégorie abélienne, dont la catégorie des groupes abéliens ou celle des espaces vectoriels sur un corps sont des exemples, soit un diagramme commutatif
où les lignes sont des suites exactes et est l'objet nul de la catégorie concernée. Alors il existe une suite exacte liant les noyaux et les conoyaux de , , et
De plus, si le morphisme est un monomorphisme, alors le morphisme l'est aussi et si le morphisme est un épimorphisme, alors le morphisme l'est aussi.
Par le théorème de plongement de Mitchell, il est suffisant de prouver le résultat sur les catégories de modules pour l'étendre à toutes les petites catégories abéliennes. On se contente donc de prouver le résultat pour toute catégorie de modules.
Soit alors par exactitude de la première ligne, on a un tel que . Ensuite par commutativité du diagramme, on a car on choisi dans le noyau de . Ainsi, par exactitude de la seconde ligne. Enfin par injectivité de (qui découle de l'exactitude de la seconde ligne), on a un unique tel que . Ce est envoyé sur .
On définit alors le morphisme de bord par .
Il reste à montrer que cette définition ne dépend pas du choisi. Si on prend un autre qui convient, nommons et la valeur associé à dans . Alors par définition, donc il existe un tel que . Par commutativité, on a . Par injectivité, .
Ainsi la différence entre , associé à , et , associé à , est dans l'image de et donc, au quotient, .
Référence
Catégorie:Algèbre homologique Serpent