En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.
Définition Catégorie des groupes abéliens La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi : Les objets sont les groupes abéliens ; Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes. C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.
La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur : .
Catégories enrichies sur Ab
La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites .
Adjonctions On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe . Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.
Propriétés de la catégorie des groupes abéliens Propriétés catégoriques Ab est concrète ; Ab est une catégorie complète et cocomplète ; Ab est préadditive et additive ; Ab est une catégorie abélienne, en particulier on peut y définir une notion de suite exacte ; Ab est une catégorie monoïdale tressée, avec le produit tensoriel sur comme produit monoïdal, et une catégorie monoïdale pour la somme directe ; Ces deux structures sont compatibles sur Ab, c'est donc une catégorie bimonoïdale ; Ab n'est pas cartésienne fermée, ce n'est donc pas un topos ; Ab est une ;
Objets L'objet initial, final et zéro de Ab est le groupe trivial 1 ; Les de Ab sont les groupes divisiblesC'est le critère de Baer sur les modules injectifs. ; Les objets projectifs sont les groupes abéliens libres ; Ab n'a pas d'objet exponentiel ; Le générateur projectif de Ab est ; Le cogénérateur injectif de Ab est ; Morphismes Les monomorphismes sont les morphismes de groupes injectifs ; Les épimorphismes sont les morphismes de groupes surjectifs ; Les isomorphismes sont les morphismes de groupes bijectifs ; Limites Le produit dans Ab est le produit direct de groupes ; Le coproduit dans Ab correspond à la somme directe de groupes ; Le noyau correspond au noyau au sens algébrique ; Le conoyau d'un morphisme f : A → B est le groupe quotient B/f(A).
Notes et références Note
Référence
Catégorie:Théorie des catégories Catégorie:Groupe abélien