En algèbre et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de structure des groupes abéliens finis . Il affirme que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.
Ce théorème fut démontré par Leopold Kronecker en 1870.. En 1868, l'avait démontré pour certains « groupes de classes ». La démonstration de Kronecker répétait celle de Schering, mais dans un cadre plus abstrait et donc plus généralThomas Hawkins, The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics, Springer, 2013, p. 299 et suivantes, spécialement 300, 301 et 311, partiellement consultable sur Google Livres..
Le théorème s'étend aux groupes abéliens de type fini. C'est un cas particulier du théorème des facteurs invariants.
Énoncé du théorème Soit G un groupe abélien fini.
Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.
Démonstration Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. Une des méthodes les plus expéditives utilise la théorie des représentations des groupes. Il en existe d'autres utilisant par exemple les caractères.
La démonstration proposée ici reste dans le cadre strict de la théorie des groupes. L'existence d'une décomposition se fonde sur le lemme 1 suivant, qui utilisera le lemme 2 :
Applications Dans la décomposition ci-dessus, l'exposant de G est égal à a et l'ordre de G à a…a. Par conséquent, un groupe abélien fini est cyclique dès que son ordre est : inférieur ou égal à son exposant. En particulier, tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.. ou sans facteur carré. Deux groupes abéliens finis sont isomorphes dès que le nombre d'éléments de chaque ordre est le même pour ces deux groupes. En effet, on peut retrouver les facteurs invariants à partir de cette donnéeCet exercice corrigé sur Wikiversité procède ainsi. Pour d'autres preuves, voir et .. La condition « abéliens » est indispensable : il existe par exemple., pour tout nombre premier impair p, deux groupes d'ordre p et d'exposant p : le groupe abélien (ℤ) et le groupe de Heisenberg sur F.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Théorème de Jordan-Hölder (un théorème analogue dans le cas où le groupe n'est pas abélien) Bibliographie
Jean-François Labarre, La théorie des groupes, PUF, 1978
Kronecker