vignette|Pendule de Foucault du Panthéon de Paris.
Le pendule de Foucault, du nom du physicien français Léon Foucault, est un dispositif expérimental conçu pour mettre en évidence la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen. Le résultat de l'expérience dans le référentiel non galiléen lié à un observateur terrestre s'explique par l'effet de la force de CoriolisAlexandre Moatti, Coriolis, naissance d’une force, sur le site education.fr, consulté le 31 mai 2016..
Historique vignette|upright|Léon Foucault (1819-1868). upright|vignette|Pendule de Foucault du musée des Arts et métiers de Paris. vignette|upright|Pendule de Foucault du musée du Temps de Besançon.
gauche|vignette|Stèle gravée sur le lieu de la première expérience du pendule (immeuble au carrefour Assas Vaugirard) La première expérience a lieu le dans la cave de sa maison située au carrefour des rues d'Assas et de Vaugirard (Paris). Avec l'aide de François Arago, l'expérience sera renouvelée le à l'Observatoire de Paris (l'invitation précisait « Vous êtes invités à venir voir la Terre tourner dans la salle méridienne de l'Observatoire de Paris »). La première démonstration publique date de quelques mois plus tard, toujours en 1851, le pendule étant accroché à la voûte du Panthéon de Paris. L'intérêt du pendule, imaginé et réalisé par Foucault, est de mettre en évidence la rotation de la Terre, manifestée par la déviation constante du plan d'oscillation du pendule.
vignette|upright|Un pendule de Foucault au pôle nord. Le pendule oscille dans un plan fixe par rapport aux étoiles alors que dessous, la Terre tourne indépendamment. upright|vignette|A. Animation d'un pendule de Foucault qui serait attaché à la coupole ( de haut) du Panthéon de Paris (latitude de 48° nord) mais où la vitesse de rotation de la Terre serait très exagérée. Le pendule est tendu (ici à une distance très exagérée de à l'est du centre au lieu de ) par une corde qu'on brûle pour le libérer après l'arrêt de toute oscillation du câble. Le pendule se dirige alors vers le centre en prenant de la vitesse (panache de couleur rouge), mais en raison de la rotation de la Terre, la force de Coriolis fait dévier la trajectoire initiale vers le nord. En remontant, le pendule perd de la vitesse et la force de déviation s'atténue également. Il s'arrête donc le long d'une direction qu'il reprend dans l'autre sens. Le point de rebroussement de la trajectoire au sol est visualisé en vert. Au retour, le sens de la vitesse est inversé et le pendule est dévié au sud du centre. Ce centre est visualisé dans l'animation par un poteau central éclairé par le soleil de midi. Une rotation de la Terre s'effectuant beaucoup plus lentement que dans l'animation, ce poteau central devrait être extrêmement fin (de l'ordre du millimètre de diamètre) pour ne pas être heurté. Il ne figure pas au Panthéon. Le pendule s'arrête de nouveau à l'est mais sa position a subi une légère rotation vers le sud. Cette rotation est moindre que la rotation de la Terre durant la même période, comme l'indique la rotation de l'ombre du poteau au sol. La vitesse de rotation du plan principal de rotation est inversement proportionnelle au sinus de la latitude où se trouve le pendule. Dans ce plan principal de rotation, le pendule oscille de part et d'autre en effectuant ainsi une ellipse visualisée en bleu. Voir également l'animation B.
Il ne semble pas que Foucault ait été informé des travaux de Coriolis portant sur les lois de la dynamique dans un référentiel non inertiel, datant de 1832. C'est donc de manière purement empirique qu'il mena son expérience, et seulement après coup que les mécaniciens expliquèrent l'expérience par l'utilisation de la force de Coriolis. Si le principe général fut rapidement expliqué, il fallut attendre bien plus longtemps pour en comprendre toutes les subtilités, notamment avec la thèse de Kamerlingh Onnes en 1879.
Si l'on considère le plan déterminé par : le point de fixation du pendule (la voûte du Panthéon de Paris par exemple), sa position au repos, donc la verticale du lieu où il est suspendu, le point d'où il est lâché sans vitesse initiale (sans vitesse relative locale), l'expérience met en évidence : que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour de l'axe de la verticale du lieu, que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord et dans le sens inverse dans l'hémisphère sud, que le plan d'oscillation effectue un tour complet en un jour sidéral aux pôles (soit ), mais qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée par le sinus de la latitude. Cette période définit le jour pendulaire. À une latitude de 30°, le jour pendulaire est donc de et à 45° de latitude de . À l'équateur le pendule oscille dans un plan fixe. Une seconde expérience notable Jones Lamprey A.B. M.B. & H. Schaw R.E. (1851) LXI. An account of pendulum experiments made at Ceylon, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 2:12, 410-412, DOI: 10.1080/14786445108645734 qui a eu lieu en fin de cette même année 1851 dans une église de Colombo à Ceylan à une latitude de , donc très proche de l'équateur, a démontré que la loi du sinus de Foucault se vérifiait.
Cette expérience historique, répétée par la suite en de nombreux endroits non sans mal en raison des difficultés de sa mise en oeuvreHagen, J. G. and de Vregille, P., "La Rotation de la Terre ses Preuves Mécaniques Anciennes et Nouvelles", Specola Astronomica Vaticana Pubblicazioni Serie Seconda, vol. 1, p. Bi–BPVI, 1912., a permis de vérifier le bien-fondé des lois du mouvement de Newton.
Pour autant, elle n'est pas la première expérience démontrant la rotation de la Terre sur elle-même. Dès 1672, Jean Richer, envoyé en mission à Cayenne pour étudier l'opposition de Mars, avait observé qu'un pendule bat plus lentement à Cayenne qu'à Paris. Son expérience a permis de mesurer la diminution de la pesanteur due en partie à la force centrifuge elle-même, mais aussi à la plus grande distance entre le lieu de la mesure et le centre de masse de la Terre due au renflement équatorial produit par cette même force.
En 1851, les lâchers du pendule du Panthéon avaient un certain cérémonial. Léon Foucault décrit dans un compte rendu à l'Académie des Sciences la manière dont il procède, après avoir fait des essais dans une cave privée avec un pendule de de long, avec un pendule de accroché dans la salle de la Méridienne à l'Observatoire de Paris :
Aujourd'hui on trouve généralement un mécanisme magnétique qui permet d'entretenir le mouvement car, en raison des frottements de l'air, celui du Panthéon n'oscille que durant .
L'expérience du pendule du Panthéon n'était pas suffisamment convaincante pour beaucoup de contemporains, ce qui a poussé Foucault à inventer l'année suivante le gyroscope dont l'axe reste parallèle à une direction fixe par rapport aux astres et cela, quelle que soit la latitude.
Mise en équation Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faible pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.
Cas du pendule simple Sans tenir compte de la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen et dans le cas de petites oscillations, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir :
où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit : où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. À titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V0 selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est :
Cas du pendule de Foucault Avec la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen, il faut tenir compte des forces induites par la rotation dont tout particulièrement l'accélération de Coriolis. Cette dernière s'écrit où est la vitesse du pendule par rapport à la Terre, est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.
Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur se décompose, dans un repère lié au sol, en une composante de valeur sur une verticale du lieu et une composante dans un plan horizontal dont on peut orienter l'axe des coordonnées y vers le nord pour simplifier. Dans ce repère, le vecteur a pour coordonnées . Si on note les coordonnées du vecteur , l'accélération de Coriolis subie par le pendule a pour composantes .
En négligeant l'influence des déplacements verticaux (h), les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent :
En utilisant la notation complexe , le système à résoudre se réduit à l'équation :
Proposons une solution classique de la forme , on en déduit que le complexe doit vérifier l'équation du second degré : qui s'écrit aussi :
En notant , les deux solutions de l'équation du second degré sont: et on peut alors en déduire que la solution générale du système est de la forme:
où et sont deux constantes indépendantes, en général complexes, qu'on peut déterminer par deux conditions initiales indépendantes comme, la position du pendule et sa vitesse à la date qui conduisent aux deux équations:
En remplaçant les expressions trouvées pour les deux constantes dans l'équation (1), on peut alors écrire une équation plus aisément interprétable :
Ainsi, si la vitesse initiale est nulle et si la position initiale est écartée du point d'équilibre, c'est-à-dire non nulle, la trajectoire au sol du pendule dans un repère tournant selon une pulsation est une ellipse parcourue en une période de .
Si est non nulle mais un imaginaire pur, le mouvement elliptique est perturbé par une oscillation perpendiculaire au plan principal d'oscillation et de même fréquence . vignette|upright|Le pendule est libéré lorsqu'on brûle la corde. La vitesse initiale est donc nulle par rapport à la Terre, mais le pendule ne revient pas exactement dans le même plan mais légèrement décalé démontrant ainsi la rotation de la Terre par rapport aux astres célestes. Au bout d'une heure le public, nombreux en 1902 pour le cinquantenaire, pouvait voir que le plan d'oscillation s'était décalé de 11°.
Examinons alors deux manières de lancer le pendule: Supposons que le pendule soit propulsé depuis la position d'équilibre () vers l'est à la vitesse () et nous obtenons le mouvement décrit par l'équation :
L'exponentielle complexe mise en facteur montre que la dynamique du pendule se décompose en un mouvement pendulaire simple (sinusoïdal de pulsation ) au sein d'un plan qui tourne lentement en raison de la rotation de la Terre () mais dont seule la composante verticale en ce lieu, , compte.
À chaque oscillation, le pendule repasse exactement par sa position de lancement qui est aussi sa position d'équilibre. On ne voit pas comment un tel mouvement peut être initié de manière simple. Dans le cas général, le pendule s'écarte de part et d'autre du plan tournant et ce n'est que par cet artefact de conditions initiales très difficiles à réaliser en pratique que le mouvement pourrait rester dans un plan et osciller au sein de ce plan comme un pendule simple.