En mathématiques, on désigne par intégrales d'Euler ou intégrales eulériennes deux types d'intégrales: Lintégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta : Lintégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma:
Pour et entiers strictement positifs :
L'intégrale d'Euler peut aussi désigner l'intégrale réelle
Cette intégrale est liée aux fonctions de Clausen.
Historique Le nom d'intégrale eulérienne aurait été donné par Legendre à la fonction bêta, qu'il a étudiée avec Euler ; c'est ce dernier qui aurait établi la dernière égalité dans la définition donnée supra.
Gaston Gohierre de Longchamps parle d pour la fonction gamma incomplète, dont il étudie le développement en série entière pour en tirer des formules de calcul de par somme de séries entières.
Généralisations
Gelfand, Kapranov et Zelevinsky ont étendu la définition d'une intégrale d'Euler classique, qu'ils définissent comme toute intégrale de la forme :
où désigne la fonction beta et est la fonction hypergéométrique de Gauss..
par les intégrales d'Euler généralisées
où les désignent des polynômes de Laurent en variables complexes .
Références
Voir aussi Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler Fonction de Clausen Fonction zêta de Hurwitz Intégrale en log-sinus
Euler Catégorie:Fonction gamma ou associée Catégorie:Leonhard Euler