En mathématiques, la constante limite de Laplace, ou constante de Laplace ou encore limite de Laplace, est une constante mathématique, pouvant être définie comme la valeur maximale de l'excentricité pour laquelle une solution à l'équation de Kepler, exprimée sous forme de série entière, converge.
Elle vaut environ : 0,662 743 ().
Définition à partir de l'équation de Kepler L'équation de Kepler relie l'anomalie moyenne et l'anomalie excentrique pour un corps un mouvement sur une ellipse d'excentricité . Cette équation ne peut être résolue en à l'aide de fonctions élémentaires, mais le théorème d'inversion de Lagrange apporte une solution série entière en :
. Laplace a réalisé que cette série converge pour de petites valeurs de l'excentricité, mais diverge lorsque l'excentricité excède une certaine valeur. La constante limite de Laplace correspond à cette valeur. C'est le rayon de convergence de cette série entière.
D'après cette référence, c'est la recherche de cette mystérieuse constante qui aurait poussé Cauchy à créer l'analyse complexe.
Équations dont la constante de Laplace est solution Cauchy a montré que la constante est la valeur maximum de pour . Cette valeur est obtenue pour , cette dernière équation s'écrivant aussi .
Notant la solution de cette équation, (), on a donc .
est aussi l'unique solution réelle de l'équation :
. , donné ci-dessus, d'où l'équation puisque .
vignette|Chainette avec tangente passant par l'origine, de pente .
Interprétations géométriques
Inverse de la pente d'une tangente à la chainette passant par l'origine , solution de , est l'abscisse du point où la tangente à la chainette d'équation passe par l'origine, pour . Cette tangente a pour pente ().
L'angle avec l'axe des , , où est la fonction de Gudermann, vaut environ 56,5° () ; on a : .vignette|300x300px|La trajectoire de tir en rouge est la plus longue ; les angles indiqués sont les angles de tir initiaux.
Angle de tir pour un tir de longueur maximale L'angle précédent, est aussi l'angle de tir au départ donnant une trajectoire de tir parabolique de longueur maximale.
La distance de tir est alors , étant la distance de tir maximale obtenue pour un angle de départ de 45°.
L'équation du tir est où , vitesse initiale, angle de tir. La longueur du tir est alors . L'annulation de la dérivée s'obtient pour qui donne bien .
Caténoïde s'appuyant sur deux anneaux parallèles vignette|Caténoïdes s'appuyant sur deux anneaux parallèles.vignette|Chainette passant par le point de coordonnées .|gaucheChercher les chainettes d'équation passant par le point , revient à résoudre où . Il y a deux solutions pour , solution unique pour , et pas de solution pour .
Étant donné deux anneaux circulaires parallèles de rayons distants de , la constante de Laplace est donc la valeur maximum du rapport pour l'existence de caténoïdes s'appuyant sur ces anneaux (solution au problème de Plateau). Pour la chainette méridienne est tangente aux diagonales du rectangle cadre (en bleu ci-contre), d'après la première propriété ci-dessus.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Excentricité orbitale Nombre de Dottie, solution de
Laplace, constante limite Catégorie:Mécanique céleste Catégorie:Série (mathématiques) Catégorie:Pierre-Simon de Laplace