vignette|droite|Représentation partielle de la clothoïde unitaire, montrée ici avec les points limites asymptotiques et un nombre limité de spires. La courbe complète s'approche indéfiniment des points asymptotiques, marqués au centre des spires, mais après un parcours de longueur infinie qu'il n'est pas possible de représenter. En prolongeant le tracé de la courbe, ces spires deviennent quasi circulaires et sont de plus en plus proches des points asymptotiques. vignette|Animation illustrant l'évolution d'une spirale de Cornu avec le cercle tangentiel de même rayon de courbure à son extrémité, également connu comme cercle osculateur (cliquez sur la vignette pour voir).Une clothoïde est une courbe plane dont la courbure en un point est proportionnelle à l'abscisse curviligne du point.
Ces courbes sont étudiées d'abord en 1694 par Jacques Bernoulli pour mathématiser ses résultats sur les déformations d'une lamelle élastique. Bernoulli ne parvient pas à obtenir une équation de la courbe cherchée, et son idée de sa forme générale est encore assez vague. À sa suite, Leonhard Euler reprend l'étude ; il en précise les principales propriétés ; toutefois, il ne parviendra à les caractériser complètement qu'après de nombreuses années de travail. Ces travaux sont oubliés et, au plusieurs savants la redécouvrent comme solution à divers problèmes de physique mathématique.
Étymologie, historique et dénominations de la courbe Étymologie Le nom de clothoïde a été attribué à cette courbe par le mathématicien italien Ernesto Cesàro en 1886.
Le mot clothoïde vient du grec : « filer (la laine) ». La même racine apparaît dans le nom de Clotho, celle des trois Moires qui tisse le fil des destinées humaines. Cette appellation évoque métaphoriquement le fil de laine qui s'enroule indéfiniment autour du fuseau.
En français, cette courbe est aussi couramment désignée par spirale de Cornu ou spirale d'Euler. En allemand, elle s'appelle Klothoid ou (courbe du fuseau).
Historique Cette courbe apparaît d'abord en 1694 comme solution des études de Jacques BernoulliArticle intitulé en latin , dans les Pensées, notes et remarques, , de Jacob Bernoulli (1654–1705), initialement publié en 1694, puis de façon plus complète sous le titre Varia posthuma, au numéro XX du second volume de ses œuvres complètes, Opéra, publiées de façon posthume en 1744. sur la forme prise par une lamelle élastique fixée d'un côté horizontalement et soumise de l'autre côté à un poids vertical. Bernoulli donne une description générale de la courbe, qu'il ne parvient pas à expliciter, et il suppose, de façon empirique et inexacte, qu'il s'agit d'un arc de parabole.
Leonhard Euler caractérise la courbe en 1743 comme exemple de sa méthode de calcul des variationsCf. .. Il en donne, moyennant des simplifications, une équation liant l'abscisse curviligne le long de la courbe à son rayon de courbure et, faute de mieux, donne un développement limité des coordonnées, ce qui permet enfin d'en calculer des approximations numériques. Par la suite, il en donne la quadrature complète et, en 1781, il calcule même la position des deux « centres » de la spiraleArticle original : .. Cette courbe prend le nom de spirale d'Euler, oubliant la contribution initiale de Bernoulli.
Plus tard, vers 1818, Augustin Fresnel, s'efforçant de démontrer expérimentalement la nature ondulatoire de la lumière, étudie la forme des franges de diffraction d'une source de lumière monochromatique au travers d'une fente rectiligne. Se fondant sur les équations de propagation des fronts d'onde, il en établit partiellement les équations cartésiennes sous forme de deux intégrales. La solution ainsi obtenue décrit une double spirale antisymétrique dont il calcule les positions des centres. L'équivalence des équations de Fresnel et de la spirale d'Euler sera relevée bien plus tard ; Fresnel reconnaîtra la paternité de la découverte d'Euler.
Peu après la publication des travaux de Fresnel, le physicien Alfred Cornu donne dans sa thèse de doctorat (1865) la forme complète des équations et dessine par points la courbe de Fresnel avec une excellente approximation numérique .. Henri Poincaré, qui l'eut comme professeur de physique, répandra l'expression « spirale de CornuDans son recueil biographique . » (en parlant de la forme des franges de diffraction de Fresnel) pour désigner la courbe.
Dès 1886, le mathématicien italien Ernesto Cesàro donne à cette courbe, dans ses travaux, le nom de clothoïde, en référence à Clotho (Kλωθω´ en grec), la plus jeune des trois Parques dans la mythologie grecqueD'après sa . Clotho est la fileuse du temps et de la vie ; ce fil, de façon infinie, se déroule de sa source pour venir s'enrouler de l'autre côté autour d'un point final jamais atteint mais sans cesse approché.
Aux noms et aux travaux de Bernoulli, d'Euler, de Fresnel, de Cornu, de Cesàro, il convient d'ajouter celui de l'ingénieur américain Arthur Talbot qui établit en 1890 la courbe de transition que doit avoir une voie de chemin de fer en ligne droite abordant un virage en arc de cercle afin de minimiser les chocs latéraux dus à la variation de l'accélération centrifuge. Ces chocs rendent les voyages inconfortables, mettent à mal le fret et endommagent le matériel roulant et la voie. Talbot résolut ce problème d'ingénierie en établissant la même solution que celles de Bernoulli et d'Euler (dans l'étude des déformations de lames élastiques), ainsi que de Fresnel et de Cornu (dans l'étude des formes des franges d'interférence de la lumière). Sa solution, aussi appelée spirale de Talbot, est identique aux résultats de Bernoulli, Euler et Fresnel. La clothoïde sera introduite dans les raccordements routiers en France par C. Bourlet. et Maurice d'Ocagne., et en Allemagne par l'ingénieur autrichien Léopold Œrley. (1936).
Le nom de « clothoïde » est aujourd'hui le plus usité en domaine francophone. Les anglophones utilisent généralement le nom de « spirale d'Euler. »
Aperçus mathématiques de la clothoïde
Définition et propriétés Équation de définition
Par définition, une clothoïde est une courbe plane dont la courbure varie proportionnellement à l'abscisse curviligne (la distance mesurée le long de la courbe), c'est-à-dire :
(avec ),
où :
est la courbure et le rayon de courbure ; est l'abscisse curviligne le long de la courbe ; un coefficient de dimension [L].
Clothoïde unitaire et généralisation Le coefficient est un coefficient d'homothétie positif qui règle la taille de la clothoïde sans en modifier la forme. On ne réduit donc pas la généralité du problème en posant que la clothoïde unitaire est une courbe plane telle que :
les abscisses curvilignes ont pour origine l'origine des coordonnées ; la pente à l'origine est nulle.
Les coordonnées de toute clothoïde se déduisent de la clothoïde unitaire par la combinaison d'une homothétie de paramètre , d'une rotation d'angle et d'une translation de valeur . C'est-à-dire que si les coordonnées de la clothoïde unitaire sont , les coordonnées de toute clothoïde s'en déduisent par :
Pour des raisons de facilité de calcul on pose aussi souvent : .
Lorsque est positive, la courbure est positive ; elle est négative lorsque est négative et nulle lorsque est nulle : l'origine est donc un point d'inflexion.
Propriétés de la clothoïde unitaire Équation intrinsèque L'équation de définition de la clothoïde unitaire est une équation intrinsèque : ou :
Cette définition n'est pas uniformément partagée. Les anglophones parlent de (spirale d'Euler normalisée), et prennent pour équation ; c'est ce choix qui est suivi ici.
Expression paramétrique La clothoïde unitaire peut être définie paramétriquement par les équations suivantes :
appelées aussi fonctions de Fresnel.
Généralisation Toujours pour : les équations paramétriques ci-dessus sont équivalentes à une équation unique formulée dans le plan complexe, l’intégrale de Fresnel :
avec : Abscisse curviligne : Pente de la tangente : Rayon de courbure :
Développement limité Euler a également établi un développement limité des coordonnées de la courbe (pour cette fois) en fonction de l’abscisse curviligne : :
Ce développement permet de calculer (avec une convergence assez rapide et une bonne stabilité numérique) les coordonnées des points de la courbe et permet de tracer la spirale, au moins pour des valeurs pas trop grandes de s.
Grâce à cette formulation, Euler décrit précisément la forme que doit avoir la courbe complète, là où Bernoulli n'avait qu'une idée assez sommaire de sa forme générale (d'ailleurs l'imprimeur qui avait publié les travaux de Bernoulli ne l'avait pas compris non plus : dans les représentations graphiques des arcs donnés par les schémas sommaires de construction géométrique, celui-ci a confondu la courbe avec un arc de cercle, en complète contradiction avec la nécessité que le rayon de courbure soit en diminution constante, comme le mentionnait pourtant clairement Bernoulli). La forme complète de la courbe, en double spirale antisymétrique (avec une infinité de spires autour de chaque point limite), a été établie par Euler.
Géométrie des spires Lorsque l'abscisse curviligne tend vers l'infini, la courbure croit comme l'abscisse. Le rayon de courbure décroit donc de façon inversement proportionnelle à l'abscisse.
Par exemple entre deux points de la clothoïde séparés par une longueur d'arc , la courbure s'accroît de .
Par conséquent le rayon de courbure passe de à .
La différence de rayon de courbure (mesuré hors du point d'inflexion sur la même branche de la double spirale, par exemple sur la branche du premier cadran, de coordonnées positives) est alors :
La différence de rayon de courbure décroît comme , de plus en plus lentement à mesure que décroit, c'est-à-dire à mesure qu'augmente le nombre de spires. Chaque spire se rapproche de plus en plus d'un cercle dont le périmètre décroît. De sorte que la différence de rayon de courbure à chaque spire, quasi circulaire, s'approche elle aussi de plus en plus de : , une quantité négative qui ne peut que décroître (en valeur absolue) lorsque le rayon est lui aussi décroissant.
Le rayon de courbure diminue donc asymptotiquement. Cette analyse géométrique simple ne permet toutefois pas de déterminer si la courbe tend vers un cercle de rayon non nul ou vers un point asymptotique. Cependant, la simple observation de l'équation intrinsèque permet de conclure à la convergence de la courbe vers un point unique puisque le rayon de courbure est par définition inversement proportionnel à l'abscisse curviligne : comme cette dernière tend vers l'infini, le rayon de courbure tend nécessairement vers zéro.
Points asymptotiques Par la suite, il a fallu pas moins de 35 ans à Euler pour déterminer, en 1781, les coordonnées des deux points asymptotiques autour desquels s’enroule la spirale, tout d'abord en démontrant que ces points limites existent (sous la forme d'un point unique de chaque côté, et non d'un cercle), puis pour en préciser la position exacte. Étant parvenu à établir des équations paramétriques de la clothoïde sous une forme équivalente aux équations de Fresnel, il résout ces intégrales à l'aide de la fonction Gamma, déjà définie par Bernoulli en 1729, et en calcule ainsi les coordonnées : (cela vaut pour la clothoïde d'équation ) Dans le cas general , les coordonnées des points asymptotiques valent:
Propriétés géométriques et interpolations Toutes les clothoïdes peuvent se déduire de la clothoïde unitaire par une homothétie, une rotation et une translation. Ainsi il est possible de déterminer une suite discrète de clothoïdes passant par deux points quelconques du plan selon la donnée des seuls angles des tangentes en ces deux points par rapport au segment les joignant (ou corde).