La morphologie mathématique est une théorie mathématique d'analyse de structures géométriques. Elle est liée à l'algèbre, à la théorie des treillis, à la topologie et aux probabilités. Elle est aussi un ensemble de techniques numériques pour l'informatique concernant notamment les analyses d'images.
Le développement de la morphologie mathématique est inspiré des problèmes de traitement d'images, domaine qui constitue son principal champ d'application. Elle fournit en particulier des outils de filtrage, segmentation, quantification et modélisation d'images. Elle est également utilisable en traitement du signal, par exemple pour filtrer les variations d'une mesure (physique, biologique, géologique) dans l'espace et/ou au cours du temps.
Aperçu général
Une des idées de base de la morphologie mathématique est d'étudier ou de traiter un ensemble à l'aide d'un autre ensemble, appelé élément structurant, qui sert de sonde. À chaque position de l'élément structurant, on regarde s'il touche ou s'il est inclus dans l'ensemble initial. En fonction de la réponse, on construit un ensemble de sortie. On obtient ainsi des opérateurs de base qui sont relativement intuitifs.
Des propriétés que l'on retrouve souvent dans les opérateurs morphologiques sont :
la non-linéarité ; la non-inversibilité ; l'idempotence.
Ceci implique en particulier une perte d'information ; bien utilisés, ces opérateurs permettent d'éliminer des structures ne respectant pas certains critères, comme de largeur ou de volume.
La morphologie mathématique s'intéresse aussi aux ensembles et aux fonctions aléatoires.
Le principal domaine d'application de la morphologie mathématique est le traitement d'images. Elle fournit, en particulier, des outils de filtrage, de segmentation et de quantification. Depuis son apparition, en 1964, elle connaît un succès grandissant et désormais contribue à garnir la boite à outils de tout traiteur d'images.
Bref historique
La morphologie mathématique a été inventée en 1964 par Georges Matheron et Jean Serra dans les laboratoires de l'école des Mines de Paris. Son développement a toujours été fortement motivé par des applications industrielles. Dans un premier temps, il s'est agi de répondre à des problèmes dans le domaine de l'exploitation minière, mais très vite ses champs d'applications se sont diversifiés : biologie, imagerie médicale, sciences des matériaux, vision industrielle, multimédia, télédétection et géophysique constituent quelques exemples de domaines dans lesquels la morphologie mathématique a apporté une contribution importante.
La morphologie mathématique reste un domaine actif de recherche. En témoignent les nombreuses publications scientifiques sur le sujet, ainsi que les symposiums internationaux sur la morphologie mathématique qui ont lieu tous les deux ou trois ans.
Quelques exemples de thèmes de recherche actuels :
ligne de partage des eaux : parallélisation, approche topologique, hiérarchisation ; extension à des espaces non-euclidiens, à des fonctions vectorielles (images en couleurs, images multi-spectrales, etc.) et à des images non conventionnelles ; liens avec l'apprentissage profond (réseaux morphologiques ; pré-traitement et post-traitement) ; approches stochastiques pour la segmentation et le filtrage ; architectures électroniques efficaces pour l'implantation d'opérateurs morphologiques ; développement d'algorithmes rapides ; traitement de nuages de points ; modélisation de structures physiques, en particulier dans le domaine des sciences des matériaux ; description et modélisation des structures cristallines des roches magmatiques et des roches métamorphiques, en relation avec les conditions de genèse et les compositions (pétrologie) ; description des objets naturels (terrestres mais aussi planétaires) à différentes échelles, comme les reliefs, les paysages, les dépôts sédimentaires (géomorphologie).
Opérateurs de base
La morphologie mathématique peut être développée dans le cadre abstrait de la théorie des treillis. Cependant, une présentation plus pratique, visant un utilisateur potentiel d'outils de traitement d'images, plutôt qu'un mathématicien, est ici adoptée.
Cas ensembliste
Plaçons-nous dans , souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dans , où est un entier strictement positif. Soit un sous-ensemble de , appelé élément structurant. Si est un élément de , alors nous noterons l'ensemble translaté de :
L'élément structurant joue en quelque sorte le rôle de modèle local, ou de sonde. Il est promené partout sur l'image à traiter, et à chaque position on étudie sa relation avec l'image binaire, considérée comme un ensemble. Ces relations peuvent être du type « est inclus dans l'ensemble », ou « touche l'ensemble », par exemple.
En pavage carré, les éléments structurants les plus classiquement utilisés sont la croix, constituée de l'origine et des quatre points les plus proches, et le carré, constitué de l'origine et des huit points les plus proches. Ces deux éléments structurants correspondent respectivement à deux définitions possibles du voisinage d'un pixel ou du type de connexité de l'image. En pavage hexagonal, l'élément de base est l'hexagone centré.
On introduit aussi le symétrique d'un ensemble, noté :
Si est symétrique, on a .
Dilatation et érosion
Soit un sous-ensemble de . La dilatation morphologique avec l'élément structurant est définie comme la somme de MinkowskiLa dilatation est aussi souvent définie en utilisant le symétrique de l'élément structurant :
On gagne alors la dualité entre érosion et dilatation, mais on perd l'adjonction. Il faut alors modifier les définitions de l'ouverture et de la fermeture morphologiques en conséquence.
Lorsque l'élément structurant est symétrique, cette distinction n'a pas d'importance.:
Une autre formulation plus intuitive est :
La dilatation morphologique n'est, en général, pas inversible. L'opération qui en quelque sorte tente de produire l'inverse de la dilatation est l'érosion morphologique:
La dilatation et l'érosion sont les opérateurs de base de la morphologie mathématique. Pratiquement tous les autres peuvent être définis à l'aide de ceux-ci, en utilisant des compositions de fonctions et des opérations ensemblistes.
Propriétés algébriques de la dilatation et de l’érosion La dilatation est une transformation extensive si B contient l’origine : L’érosion est anti-extensive si B contient l'origine : La dilatation et l’érosion sont des transformations croissantes (comme l’union et l’intersection) : La dilatation et l’érosion ne sont pas des transformations idempotentes : Par contre la dilatation et l’érosion vérifient la propriété d’itérativité qui permet de construire des dilatations ou des érosions avec des éléments structurants homothétiques : La dilatation est une transformation continue et l’érosion est une transformation semi-continue supérieure. Cette propriété découle directement de la propriété de l’intersection dans la soustraction de Minkowski.
La dilatation est distributive par rapport à l’union et l’érosion par rapport à l’intersection : Soit une famille d’éléments structurants homothétiques et une homothétie de rapport . La compatibilité de la dilatation et de l’érosion avec les homothéties s’écrivent :
Propriétés topologiques de la dilatation et de l'érosion La dilatation, comme l’union, préserve la connexité. La dilatation n’est pas une transformation qui préserve l’homotopie. En effet, elle connecte des éléments disjoints et bouche des trous. L’érosion n’est pas une transformation qui préserve l’homotopie. En effet, elle sépare les parties connexes et supprime des éléments lorsqu’ils sont petits. L’érosion, comme l’intersection, ne préserve pas la connexité. Ouverture et fermeture
La composition d'une dilatation morphologique avec l'érosion par le même élément structurant ne produit pas, en général, l'identité, mais deux autres opérateurs morphologiques, l'ouverture morphologique :
et la fermeture morphologique : L'ouverture peut être caractérisée géométriquement: elle donne l'union de tous les inclus dans . Ainsi, la forme de l'élément structurant permet de choisir les structures qui peuvent le contenir.
La fermeture est le dual de l'ouverture : la fermeture du complémentaire d'un ensemble est égale au complémentaire de l'ouverture de cet ensemble.
On notera que si l'élément structurant n'est pas symétrique, on devra utiliser l'élément symétrique pour le second opérateur (dilatation dans le cas de l'ouverture et érosion dans le cas de la fermeture).
Propriétés de l’ouverture et de la fermeture
La fermeture et l'ouverture sont des opérations croissantes et idempotentes, deux propriétés qui définissent les filtres morphologiques. La fermeture est extensive (), et l'ouverture est anti-extensive (). L’ouverture et la fermeture sont des opérateurs semi-continu supérieur. C’est l’érosion qui impose cette propriété, la dilatation étant continue. Du point de vue topologique, l’ouverture ne préserve pas la connexité alors que la fermeture la préserve. L’ouverture et la fermeture ne sont pas des transformations homotopiques.
Transformation en tout ou rien
On peut aussi prendre deux éléments structurants et pour définir des transformations. Si on demande en chaque point à d'être à l'extérieur de l'ensemble et à à l'intérieur on obtient la transformation en tout ou rien ( en anglais) :
où désigne le complémentaire de l'ensemble . Cette transformation permet de détecter certaines configurations précises de pixels. Parmi les configurations les plus utilisées on aura :
Les points extrêmes et les points triples du squelette obtenu par amincissement. Les configurations correspondant aux différents nombres de connexités.
Épaississement et amincissement En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement : en enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement :
Applications : squelette, skiz, enveloppe convexe
En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial (comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des squelettes homotopiques. Des épaississements homotopiques permettent aussi de construire des Skiz (squelettes par zone d’influence). Avec une autre configuration on pourra obtenir par épaississement les enveloppes convexes.
Extension aux fonctions
Une image à niveaux de gris peut être modélisée comme une fonction de dans . Soit une fonction appartenant à cet ensemble. On a alors :
L'ouverture et la fermeture de fonctions s'obtiennent comme dans le cas ensembliste :
L'ouverture et la fermeture morphologiques constituent déjà des outils intéressants de filtrage d'images. Cependant, ils peuvent modifier le contour des objets, propriété qui peut être malvenue. Les opérateurs par reconstruction et plus généralement les nivellements, introduits plus loin, permettent de pallier cet inconvénient.
Épaississements et amincissements ne sont pas, en général, des opérateurs croissants. Par conséquent, leur application aux fonctions (en pratique, aux images à niveaux de gris) n'est pas triviale. Plusieurs extensions ont été proposées dans la littérature.
Exemple d'utilisation : détection de contours
La détection de contours représente une tâche importante en traitement d'images. La morphologie mathématique propose des outils non-linéaires de détection de contours, comme le gradient et le laplacien morphologiques.
Le gradient morphologique, aussi appelé gradient de Beucher du nom de son inventeur, est défini par :
Il correspond, en quelque sorte, à la version morphologique du module du gradient euclidien.
Le laplacien morphologique est construit de façon analogue :
où correspond à l'opérateur identité.