Un nombre hautement composé est un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que n’en ont les nombres qui le précèdent. vignette|350x350px|Diagramme en bâtons du nombre de diviseurs , avec en vert les ploutons 1,2,4,6,12,24,36,48,60. Raymond Badiou a proposé de les appeler nombres ploutons (de Ploutos, divinité de la richesse) ..
Historique La définition et l’appellation de ces nombres a été introduite en 1915 par Srinivasa Ramanujan ..
Cependant, Jean-Pierre Kahane a suggéré que le concept était connu de Platon qui a établi à le nombre idéal de citoyens dans une cité, sa propriété d’avoir de nombreux diviseurs permettant de les répartir en de nombreux sous-groupes de même taille.. Il est plus probable que été simplement choisi pour sa propriété d’être égal à .
Certains nombres hautement composés ont également été utilisés longtemps pour leur bonne décomposabilité : les 240 deniers d’une livre créés en Europe sous Charlemagne, les 360 degrés d’un angle, les 60 sous-unités de la base sexagésimale mésopotamienne utilisée dans l’Antiquité mésopotamienne, ou le découpage du temps et de l’espace en 60 minutes et en 60 secondes, ou le comptage à la douzaine, qui chacun permettent diverses divisions exactes. En pratique ces nombres aux propriétés intéressantes peuvent facilement être fabriqués en multipliant des petits nombres multiples de 2, 3 et 5, comme 4, 6, 10, 12 eux-mêmes composés, mais ont eu une durée d’utilisation notablement longue, comptable en millénaires.
Premières valeurs Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont les suivants (huit d’entre eux, en gras, sont même hautement composés supérieurs) : nombres hautement composés() 1 2 4 6 12 24 36 4860 120 180 240 360 720 840 1260 1 680 2 520 5 040 7 560 10 080nombres de diviseurs positifs() 1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64 72décomposition en facteurs premiers 2 2² 23 2²3 2³3 2²3² 2⁴3 2²35 2³35 2²3²5 2⁴35 2³3²5 2⁴3²5 2³357 2²3²57 2⁴357 2³3²57 2⁴3²57 2³3³57 2⁵3²57décomposition enproduit de primorielles 2 2 6 26 26626230230630230263026302210621022102621026210621026210 On note que les 7 premières factorielles : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, sont hautement composées, mais 8!=40320 ne l’est pas.
Décroissance des exposants de la décomposition en produit de facteurs premiers Pour donner une idée de la forme d’un nombre hautement composé, on peut dire qu’il s’agit d’un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l’on considère la décomposition d’un entier en facteurs premiers comme suit :
où sont les premiers nombres premiers, et où le dernier exposant est non nul, alors le nombre de diviseurs de est :
Par conséquent, pour que soit hautement composé, il faut que (sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue tout en conservant le même nombre de diviseurs : par exemple 18 = 2 × 3 peut être remplacé par 12 = 2 × 3, chacun a 6 diviseurs). Cette condition nécessaire équivaut à : est décomposable en produit de primorielles. Tout nombre hautement composé est donc un nombre pratique.
Cette condition n’est cependant pas suffisante ; par exemple, remplit la condition de décroissance mais n’est pas hautement composé : possède également 12 diviseurs tout en étant strictement plus petit.
On peut aussi montrer qu’on a toujours , sauf dans deux cas particuliers et .
Propriété d'abondance Les nombres hautement composés strictement supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d’œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d’un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait.
Évaluation asymptotique Si représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à , Ramanujan a montré en particulier que
ce qui prouve qu’il y a une infinité de nombres hautement composés.
Plus précisément, il existe une constante b telle que
La minoration de fut prouvée par Paul Erdős en 1944. et la majoration par en 1971J.-L. Nicolas, « Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan », Canad. J. Math., vol. 23, n° 1, 1971, ..
Exemple Le nombre hautement composé = 2 × 3 × 5 × 7 a 72 diviseurs.1×100802×5040 3 × 33604×2520 5 × 20166<be>×16807×1440 8 ×1260 9 × 1120 10 × 100812×840 14 ×72015×672 16 × 630 18 × 560 20 × 504 21 × 48024× 42028×360 30 × 336 32 × 315 35 × 28836× 280 40 × 25242×240 45 × 22448× 210 56 ×18060× 168 63 × 16070× 144 72 × 140 80 × 126 84 × 120 90 × 112 96 × 105Les nombres en gras sont eux-mêmes hautement composés.Seul le vingtième nombre hautement composé (= 3 × ) est absent.
Le nombre également « 7-friable », c.est-à-dire que tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 7.
Utilisation Certains de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliqués, ainsi 12 et 60.
Voir aussi Articles connexes
Liens externes
Algorithme et listes sur une ancienne page web (1998) de Kiran Kedlaya Nombres impairs hautement composés (ayant strictement plus de diviseurs que les impairs précédents).
Notes et références
Hautement composé