Cet article porte sur les représentations du nombre , importante constante mathématique.
Elle peut être obtenue de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque est un nombre irrationnel, il ne peut être représenté par une fraction ordinaire, mais peut l'être par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, peut aussi être obtenu comme sommes de séries, comme produits infinis et comme limites de suites.
Comme fractions continues
Contrairement au nombre , le développement du nombre en fraction continue simple possède une certaine régularité :
. La suite des coefficients est donnée par la ; une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ».
Voici quelques développements en fraction continue généralisée (en notation de Pringsheim). Le deuxième est déduit du premier par conversion. Le troisième, qui converge très rapidement, est un cas particulier du quatrième.
Comme sommes de séries La constante est aussi égale à la somme de ces sériesPour les séries 2 à 7, voir . :
où est le n-ième nombre de Bell.
Comme produits infinis La constante est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Catalan (1875). :
le produit de Pippenger (voir la et la )
et le produit de Guillera. :
où le n-ième facteur est la racine n-ième du produit
Il y a aussi le produit infini :
ainsi que : où est définie par , suite ; la formule vient du fait que .
Comme limites de suites La constante est égale à plusieurs limites de suites dont la plus connue est : . Cette formule reste valable quand ou si on remplace n entier par x réel.
La formule de Stirling permet d'obtenir : .
La limite symétrique. :
peut être obtenue en manipulant la première limite ci-dessus.
Une autre limite est. :
où est le n-ième nombre premier et est sa primorielle.
L'élégante expression :
où est la sous-factorielle de , est en fait une autre écriture de l'égalité .
Notes et références
Catégorie:Nombre transcendant Catégorie:Analyse réelle E (z)