L'approximation de Boussinesq en mécanique des fluides désigne une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles à surface libre dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l'absence d'équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l'université de Lille et à l'Institut industriel du Nord (École centrale de Lille).
Cette approximation est à la base de nombreux développements, par exemple les écoulements rapidement variés (par exemple un déversoir de canal), la circulation océanique et les problèmes d'ondes à la surface des océans lorsque celui-ci est stratifié, certains mouvements dans l'atmosphère associés à une variation de température comme les vents catabatiques et les problèmes de convection libre.
Les problèmes où l'équilibre hydrostatique est conservé (écoulements en eau peu profonde) relèvent des équations de Barré de Saint-Venant.
Équations de Navier-Stokes pour une masse volumique variable
On suppose que le milieu présente de faibles variations de température T. Par conséquent, les variations de masse volumique ρ autour de la valeur nominale ρ0 restent faibles. De plus, les capacités thermiques massiques à volume constant CV et à pression constante Cp sont considérées comme égales et indépendantes de la température, tout comme la conductivité thermique.
Avec ces hypothèses les équations de Navier-Stokes s'écrivent : continuité
conservation de la quantité de mouvement
la dépendance en température fait que les équations ci-dessus sont à présent couplées à l'équation de conservation de l'énergie interne massique e
où p est la pression, μ la viscosité dynamique du fluide, V la vitesse, g la gravité, λ la conductivité thermique et β la diffusivité thermique.
Approximation de Boussinesq
Équation de continuité
Supposons une variation de masse volumique δρ créée par un phénomène quelconque
L'équation de continuité devient
soit, comme pour un milieu à masse volumique constante
Équation de quantité de mouvement Pour l'équation de quantité de mouvement on suppose une faible variation de masse volumique
alors
Par ailleurs g dérive d'un potentiel (par exemple Φ = g z à l'échelle du laboratoire)
donc
La variation de masse volumique est elle-même reliée à la variation de température par
où α est le coefficient de dilatation thermique. Soit finalement
où on a introduit la flottabilité
Équation de l'énergie
On écrit
Cette expression est portée dans l'équation de l'énergie
Donc une équation sur la variation de température identique à celle sur la température elle-même.
Références
Voir aussi Équation de Korteweg-de Vries
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