En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. Exemple introductif Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée (à 10 près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque :
L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1.
Pour écrire exactement le quotient 4/3 en notation décimale, il faudrait donc répéter le chiffre 3 à l'infini. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas.
Notations
Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties : sa partie entière, une partie décimale non périodique, une partie décimale périodique.
Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la (plus courte) période de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant.
Développement périodique et nombre rationnel Écriture décimale d'un rationnel
Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté a priori sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 :
5,00000074–444 0,06756… 5 6 0 – 5 1 8 4 20 –3 70 50 0
etc. On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on « abaisse le 0 », on divise à nouveau 500 par 74. On se retrouve dans la même situation qu'au départ. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675… = 0,0. Le résultat est prévisible. Les seuls restes possibles — dans ce cas il y en a 74 — sont : 0, 1, 2, … et 73. Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète. On peut remarquer de plus que les décimales obtenues sont les mêmes si l'on change la représentation fractionnaire de départ (par exemple ).
Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante :
Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas : si le dénominateur contient des puissances de ou , on peut toujours se ramener au cas où les exposants de 2 et de 5 sont égaux (en multipliant numérateur et dénominateur par une puissance adéquate de ou ) pour mettre la fraction sous la forme × où est premier avec et est irréductible (en simplifiant et par leurs éventuels facteurs communs). Ces transformations ne modifient pas le quotient dans la division. De plus, le développement de × est le même que celui de , à un décalage près de la virgule. puis, si , la division de par est instantanée et donne, pour = , le développement .
Il reste à étudier le résultat d'une division de par lorsque est strictement supérieur à et premier avec et . Dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'un développement décimal périodique, dont la période est différente de et et commence immédiatement après la virgule. De plus, la longueur de cette période — dont la valeur sera précisée plus loin — est strictement inférieure à .
On effectue la division euclidienne de par , puis les divisions successives de par , donnant pour quotient et pour reste . Le reste n'est jamais nul puisque par hypothèse, n'est pas un nombre décimal. La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes sont les restes de la division euclidienne de par .
L'algorithme de division assure que, pour tout : . Le quotient a donc bien pour développement décimal .
La suite des restes est périodique (dès le début) et la longueur de sa période est strictement inférieure à . Le reste est toujours strictement compris entre et . À chaque étape, il n'y a donc que restes possibles, si bien qu'on ne peut pas opérer étapes sans rencontrer deux restes identiques. Notons et les deux premiers (avec donc ). si et seulement si et ont même reste dans la division par , c'est-à-dire si l'entier est un multiple de , ou encore — puisque est premier avec et — si divise . Dans ce cas, divise aussi , et ont même reste et . Par conséquent, . Comme, pour tout , divise aussi , la suite est périodique, avec une période de longueur .
Le développement décimal est périodique, sa période commence juste après la virgule, et la longueur de sa période divise . Cela résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que est le quotient de la division euclidienne de par .
La période n'est ni 0 ni 9. Pour tout , la division euclidienne de par donne . Une période donnerait (pour tout ) , ce qui est impossible. De même une période donnerait soit encore , ce qui conduirait à , tout aussi impossible.
Écriture fractionnaire d'un développement périodique Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que , lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale.
Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.
Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :
Le cas des nombres décimaux
Un nombre décimal est le quotient d'un entier par une puissance de . On a montré que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période .
Or la méthode du paragraphe précédent fournit des développements impropres. Par exemple, elle conduit à l'égalité , c'est-à-dire , qui est parfois contestée de façon naïve (voir l'article « Développement décimal de l'unité », qui en donne d'autres preuves et analyse les incrédulités à ce sujet ; le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal).
En résumé :
Exemples 2,5 = 2,4. –0,6001 = –0,6000.
Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. Par exemple : la multiplication par du développement décimal propre de est l'une des méthodes pour convaincre que ; lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 – x connaissant celui de x, la forme 0,999… est plus adaptée : x = 0,52121… = 0,5 1 – x = 0,99999… – 0,52121… = 0,47878… = 0,4.
Période de La connaissance d'une période pour le développement décimal de permet d'en découvrir par multiplication pour tout quotient . Le développement de possède plusieurs périodes (il suffit, pour en créer une nouvelle, de mettre bout à bout deux périodes identiques) ; l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera la période et d'en déterminer certaines propriétés.
Longueur de la période Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de par . Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de par . Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre multiplicatifC'est-à-dire le plus petit entier tel que soit divisible par , ou encore : l'ordre de dans le groupe multiplicatif des inversibles de . de modulo :
On a déjà démontré que le cas général se ramène au cas où est premier avec et strictement supérieur à , et qu'alors : il existe un plus petit entier tel que soit divisible par ; pour la suite des restes, la longueur de la période est égale à cet entier ; pour la suite des décimales du quotient, la longueur divise . Il ne reste donc plus qu'à vérifier que divise . Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » ci-dessus,
si bien que divise . Puisqu'il est premier avec donc avec , il divise , c'est-à-dire que est un multiple de .
En particulier : la longueur de la période de est toujours égale à celle de ; c'est un diviseur de , où est l'indicatrice d'EulerPour tout entier , est le nombre d'entiers compris entre et et premiers avec ..
Lorsque est un nombre premier différent de et , la longueur de la période de peut être égale à (la longueur maximale pour une division par un entier Si est premier, , tandis que si est composé, .) ; par exemple :
Elle peut aussi être plus petite, comme pour
Les périodes de longueur maximale sont donc celles des fractions où est un nombre premier pour lequel l'ordre de est .. On dit alors que est une racine primitive modulo . Ces nombres, appelés parfois "nombres premiers longs", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée A006883 dans l'encyclopédie des suites entières, ou A001913 si l'on excepte le 2.
Emil Artin a émis l'hypothèse que cette suite est infinie et que sa densité parmi les nombres premiers est une constante (la même quand on remplace par certains autres entiers), valant environ (voir l'article sur la Conjecture d'Artin sur les racines primitives).
Lorsque n'est pas premier, . La longueur de la période doit diviser et elle n'est jamais maximale. Ainsi, la longueur de la période de doit diviser . Effectivement, la période de est de longueur :
Caractérisation pratique des nombres premiers longs En utilisant le fait que on obtient la caractérisation :
Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres appelés communément "répunits" :
, , , ,
1/13 n’est donc pas à période maximale car 13 divise , avec 6 diviseur de 12 ;
1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise , avec 6 diviseur de 36 ;
1/41 n’est pas à période maximale car 41 divise , avec 5 diviseur de 40
Cycle et permutation Si et sont premiers entre eux, la division posée pour permet de trouver aussi les développements décimaux de pour tous les restes intervenant dans la division. En effet, a pour quotient et pour reste dans la division par . On retrouve alors, pour le développement périodique de , celui de ayant seulement subi une permutation circulaire et commençant à . Ainsi, on a
et l'écriture fractionnaire donne
En observant les numérateurs, on peut voir que multiplier la période de par équivaut à effectuer une permutation circulaire sur les chiffres de ce nombre.
Lorsque la période de est de longueur maximale, les restes parcourent tous les entiers de à . Dans ce cas, en multipliant la période de par tout entier , on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. La nouvelle période obtenue sera celle de .
Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres pour lesquels est d'ordre . C'est le cas par exemple de (période de ) ou (période de ) qui sont des nombres cycliques. On a ainsi, pour , dont les restes sont successivement , , , , , , , , , , , : 1 × 142857 = 142857 ; 3 × 142857 = 428571 ; 2 × 142857 = 285714 ; 6 × 142857 = 857142 ; 4 × 142857 = 571428 ; 5 × 142857 = 714285. (7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de ).