En géométrie euclidienne, l'isopérimétrie est initialement l'étude des propriétés des formes géométriques du plan qui partagent le même périmètre, ce qui se généralise ensuite dans les autres espaces euclidiens.
En particulier, le problème le plus classique consiste à déterminer la forme géométrique plane qui maximise son aire avec un périmètre fixé. La réponse est intuitive, c'est le disque, mais malgré son apparence anodine ce problème fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse (particularité qu'il partage par exemple avec le théorème de Jordan qui indique qu'une boucle tracée sans croisement divise le plan en deux parties). Pour cette raison on simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées, par exemple en se restreignant aux seuls quadrilatères ou triangles, ce qui donne alors respectivement le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n côtés ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle : c'est le polygone régulier.
L'isopérimétrie se généralise à des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la zone d'aire maximale pour un périmètre donné est le demi-disque. En dimension 3, il s'agit de trouver le solide de plus grand volume, enveloppé dans une surface de mesure fixée ; la bulle de savon, qui résout le problème inverse en « cherchant » à minimiser la surface par laquelle elle enveloppe un volume d'air donné, indique la solution : la sphère.
Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes appelés théorèmes isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. En dimension 2, l'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration ; le terme de gauche est le quotient isopérimétrique, qui n'est égal à 1 que dans le cas du disque.
Si l'origine de cette question date d'au moins , ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.
Cet article traite uniquement des aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'article théorème isopérimétrique.
Fragments d'histoire
La légende, livre 1, 16. raconte que la ville de Carthage fut fondée en par la princesse phénicienne Elissa, surnommée Didon. Elle demanda au roi de Numidie Iarbas l'octroi d'un terrain pour s'y installer. Iarbas, réticent, lui accorda le droit de choisir un lopin de terre que pourrait contenir la peau d'un bœuf. Didon découpa en une fine lamelle la peau, qui devint une longue lanière de de longCette information sur la longueur provient de , .. Elle fit étendre cette lanière sur un demi-cercle dont les deux extrémités touchaient la côte, rectiligne à l'endroit où elle se trouvait (leçon donnée le 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy), .. La reine avait intuitivement trouvé la solution au problème isopérimétrique dans un demi-plan euclidien. Ce problème est résolu lorsqu'est trouvée la surface la plus grande possible, pour un périmètre donnéOn trouve cette définition dans l'article F. Viot, « L'élaboration du calcul des variations et ses applications à la dynamique », Mnémosyne, n° 4-5. pp 35 63 . Le demi-cercle est en effet la courbe que doit suivre la lanière pour délimiter la plus grande surface possible, dans ce cas particulier.
La méthode consistant à mesurer une surface à l'aide de son périmètre est fréquente durant l'Antiquité grecque. Homère indique que la ville de Troie fait , indiquant par là qu'en faire le tour demande une marche de pas. La solution du problème isopérimétrique dans le plan euclidien est connue par certains depuis le , au moins pour le cas du polygone à n côtés William Dunham, The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems, and Personalities, Wiley, 1994 , .. Il porte le nom de théorème isopérimétrique. À l'époque des Grecs, tous ne semblent pas au courant de ce résultat et de ses conséquences. Au , Proclus mentionne le cas de tricherie de géomètres datant de cette époque. Des terrains étaient divisés en différents lopins de même périmètre mais de surfaces différentes. Les géomètres, responsables du partage, obtenaient les plus grosses parcelles. La supercherie fut découverte au moment des moissons, dont l'abondance est proportionnelle à la surface et non au périmètre..
Théon d'Alexandrie (335- 405) et Pappus attribuent à Zénodore les premières démonstrations.. Il prouve que parmi tous les polygones à n côtés et de même périmètre, seul celui régulier est candidat à être la réponse au problème isopérimétrique. Il découvre aussi que le disque d'un périmètre donné possède une surface supérieure à celle de n'importe quel polygone régulier. Il aurait aussi démontré que la sphère est le solide ayant un plus grand volume que tout polyèdre de même surface Ivor Thomas, Greek Mathematical Works, vol. 2 : From Aristarchus to Pappus, coll. Loeb Classical Library, HUP, 1941 , ..
Les mathématiciens grecs n'ont pas les moyens d'aller au-delà. Leurs démonstrations restent partielles, même si leurs auteurs n'ont pas conscience de l'aspect incomplet des preuves. Ils ne disposent pas non plus des outils mathématiques qui auraient permis d'aller plus loin. Les mathématiciens arabes s'approprient le savoir des Grecs sur cette question. Abū Ja'far al-Khāzin écrit un traité résumant tout le savoir de son époque sur l'isopérimétrie Richard Lorch, « Abū Ja'far al-Khāzin on Isoperimetry and the Archimedean Tradition », Zeitschrift für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, vol. 3, 1986, .. Ils développent les moyens d'aller plus loin. Nasir ad-Din at-Tusi, un mathématicien du , développe, dans son traité du quadrilatère., suffisamment la trigonométrie pour présenter des preuves complètes dans le cas des triangles ou des rectangles.
Il faut ensuite attendre les mathématiques européennes du pour d'autres progrès. En 1836, Jakob Steiner obtient un premier résultat nouveau. Sous réserve d'admettre l'existence d'une solution en dimension 2, alors cette solution est nécessairement le disqueCette information provient de .. Pour une preuve complète en dimension 2, il faut attendre les travaux de Karl Weierstrass et Hermann Minkowski ; elle devient rigoureuse vers 1895.. Cette partie de l'histoire est traitée dans l'article Théorème isopérimétrique.
Définitions et premières propriétés Dimension 2 Soit Pn un polygone à n côtés, où n désigne un entier plus grand que 2, p son périmètre et an son aire. Dans ce cas particulier, le théorème isopérimétrique s'exprime sous la forme suivante :
Ce théorème peut s'exprimer sous la forme d'une inégalité :
Cette propriété est très générale ; elle reste vraie pour toute surface d'aire a, ayant un bord rectifiable de longueur p, c'est-à-dire que le bord est une courbe qui possède une longueur finie.
Ce théorème donne lieu à une définition :
On peut interpréter ce quotient comme le carré du rapport entre le rayon du cercle ayant même aire sur le rayon du cercle ayant même périmètre. L'inégalité isopérimétrique est équivalente à dire que q est inférieur à 1, le cas d'égalité n'ayant lieu que si la surface est un disque.
Dimension 3
En dimension 3, on ne peut approcher de plus en plus précisément la sphère par des polyèdres réguliers convexes. Il n'en existe que 5, appelés solides de Platon. Le résultat général reste néanmoins vrai :
Remarque: Ici le bord du solide est une surface comme la sphère est le bord de la boule.
L'inégalité isopérimétrique s'exprime à l'aide d'un quotient isopérimétrique q. Elle indique que ce coefficient est toujours inférieur à 1 et le cas d'égalité n'a lieu que pour la sphère. Le coefficient q s'exprime sous la forme suivante, si v désigne le volume du solide et s l'aire du bord de ce solide :
Cette formule est commentée à travers l'exemple de l'icosaèdre, à la suite de l'article.
Résultats élémentaires Préambule
Le schéma de gaucheElle s'inspire d'une idée issue de : D. Wells Curious and Interesting Geometry, The Penguin Dictionary of Penguin (Non-Classics) (1992) p 123 représente quatre figures, dont trois polygonales et toutes de même périmètre. Il n'est pas toujours évident de repérer immédiatement celle de plus grande aire. L'histoire montre même que pour certains Grecs, l'idée que deux régions, délimitées par deux courbes de même longueur, puissent avoir des aires différentes était contre-intuitive.
Si, dans le cas général, la démonstration est suffisamment complexe pour avoir demandé près de ans d'efforts, traiter uniquement le cas des polygones est plus simple. Des solutions élémentaires sont connues depuis l'Antiquité, même si elles restent partielles. Elles sont présentées ici dans un langage moderne.
La lettre n désigne un entier plus grand que 2 et p un nombre réel strictement positif. La question à résoudre est de trouver, s'il existe, le polygone à n côtés et de périmètre p, ayant la plus grande aire. On peut remarquer qu'il suffit de chercher uniquement dans les polygones convexes. Le terme convexe signifie ici qu'un élastique entourant le polygone est toujours en contact avec sa frontière. Considérons, en effet, un polygone non convexe P1, par exemple celui illustré sur la figure de droite, en bleu. Son enveloppe convexe, c'est-à-dire la figure ayant pour frontière celle donnée par un élastique entourant le polygone P1, est un nouveau polygone P2, cette fois convexe. Le polygone P2 correspond à celui contenant les zones bleue et verte sur la figure. Son aire est strictement plus grande et son périmètre strictement plus petit. Une dilatation d'un rapport bien choisi, nécessairement supérieur à 1, appliquée à P2 définit un nouveau polygone P3 de même périmètre que celui de P1. L'aire de P1 est strictement plus petite que celle de P2, elle-même strictement plus petite que celle de P3. Le polygone P3 est de même périmètre que P1 et d'aire strictement plus grande. On en déduit que P1 n'est pas un candidat pour répondre au problème isopérimétrique.
Quadrilatère Ce cas correspond à celui qui peut être résolu intégralement sans autre savoir que celui des mathématiciens grecs.
L'aire d'un carré est égale à p2/16. Le dénominateur 16 est plus grand que 4π. On en déduit, si a4 est l'aire d'un quadrilatère de périmètre p :
La démonstration utilise un lemme, utile pour le problème isopérimétrique de n'importe quel polygone :
Polygone quelconque Le cas du polygone quelconque se traite un peu différemment. La proposition suivante peut être démontrée à l'aide de techniques comparables à celle du paragraphe précédent :
Si an désigne l'aire du polygone régulier, on dispose des inégalités isopérimétriques :
Une partie significative de la démonstration consiste à établir le lemme suivant, attribué à Zénodore. Le calcul de la surface du polygone régulier est l'œuvre d'Archimède. Si les idées sont antiques, la rédaction proposée ici est moderne, elle diffère totalement des preuves qui nous ont été rapportéesOn trouve la démonstration dans ..
Frontière non polygonale Le cas de la frontière non polygonale n'est guère plus complexe, pour arriver à un résultat équivalent aux précédents :
L'astuce est l'œuvre de Steiner, qui trouve un procédé de symétrisation, toujours utilisé et qui porte maintenant son nom.
Topologie