La théorie des mécanismes. est un ensemble de méthodes qui permettent d'étudier les mécanismes et les structures, en vue de les comprendre, de les améliorer ou de les concevoir. Ces méthodes reposent essentiellement sur deux branches de la mécanique, la statique et la cinématique. .
Le but de la théorie des mécanismes est de donner aux techniciens et ingénieurs un outil de travail efficace. On ne s'étonnera donc pas de voir associées, aussi souvent que possible, des considérations pratiques avec des notions beaucoup plus abstraites.
Définitions préliminaires On appelle pièce tout sous-ensemble rigide faisant partie d'un mécanisme ou d'une structure, quelle que soit sa réalisation. Une liaison résulte de la mise en contact de deux pièces par l'intermédiaire de surfaces fonctionnelles appropriées. On attend d'une liaison qu'elle transmette certains efforts d'une pièce à l'autre, ou qu'elle interdise certains mouvements d'une pièce par rapport à l'autre. On dit bien « interdise » et non pas « autorise ». Les mécanismes et les structures résultent de l'agencement d'éléments rigides liés les uns aux autres ; ils comportent donc un nombre entier de pièces et un autre nombre entier, généralement différent, de liaisons. On trouve des systèmes dans lesquels certains éléments peuvent se mouvoir, une boîte de vitesses par exemple, et des agencements purement statiques comme l'ossature d'un bâtiment ou d'un ouvrage d'art, ou encore le montage qui immobilise une pièce en vue de son usinage sur une machine-outil. Dans un mécanisme formé de p + 1 pièces, on appelle généralement socle ou bâti celle qui sert de référence pour étudier, par la statique ou la cinématique, le comportement des p autres pièces.
Hypothèses et limites de l'étude Les pièces sont parfaitement indéformables : la distance de deux points quelconques A et B appartenant à une même pièce est donc rigoureusement invariable. On néglige ici l'élasticité, en déduisant immédiatement qu'un ressort ne doit jamais être considéré comme une pièce. Les surfaces fonctionnelles par lesquelles les pièces viennent en contact sont géométriquement parfaites. On néglige cette fois les tolérances de forme et d'état de surface. Les liaisons créées entre les pièces sont parfaites, c'est-à-dire qu'elles sont réalisées sans jeu, ni serrage, ni frottement. Les ajustements et l'usure sont exclus de l'étude.
Liaisons simples Pour des raisons pratiques, les surfaces utilisées pour réaliser des liaisons sont le plus souvent des cylindres, des plans ou des sphères.
Les cylindres peuvent être réalisés très facilement et avec une bonne précision sur une large gamme de machines-outils, ce sont les surfaces les plus économiques et il faut bien sûr les utiliser aussi largement que possible. Les plans sont nettement moins faciles à réaliser, surtout s'ils ont une surface importante, mais ils restent d'un coût raisonnable. Les sphères sont les surfaces les plus onéreuses, surtout si l'on veut imposer à la fois un diamètre précis et des tolérances de forme et de rugosité très faibles. On les évite donc autant que possible en tant que telles, mais leur usage est indispensable pour obtenir certaines fonctions particulières ; dans ce cas, on essaie de trouver des solutions de substitution, ce qui est très souvent possible.
En associant deux à deux ces surfaces, on obtient six combinaisons qui correspondent aux six liaisons simples bien connues :
association liaison plan et sphère appui ponctuel, encore appelé « appui simple » plan et cylindre appui linéaire rectiligne, ou parfois « appui linéaire » tout court plan et plan appui plan cylindre et sphère appui linéaire annulaire, ou « anneau », ou encore « gouttière » cylindre et cylindre pivot glissant ou « verrou » sphère et sphère rotule ou « liaison sphérique »
On ne s'attardera pas sur la liaison nulle (appelée liaison libre), ni sur la liaison complète (nommée liaison encastrement).
Chacune des liaisons simples possède des particularités qu'il convient de connaître par cœur si l'on veut utiliser efficacement la théorie des mécanismes. D'autres liaisons seront ajoutées par la suite et considérées comme des liaisons simples, moyennant certaines précautions.
Liaisons ponctuelles, linéiques et surfaciques contact ponctuel : en faisant se toucher une sphère et un plan, le contact théorique se résume à un point. En pratique, si la liaison doit transmettre des efforts, ce contact va s'écraser quelque peu et devenir une petite surface, sans quoi la pression serait infinie. L'appui ponctuel est cependant la plus précise de toutes les liaisons et la seule qui permette de localiser le contact réel dans une toute petite zone de l'espace. On ne s'en servira guère pour transmettre des efforts, sauf sous forme de contact roulant, en revanche on l'utilisera à chaque fois que l'on aura besoin de précision : transmission d'une information de position, construction d'appareils de mesure, montages de premier usinage, etc. contact linéique : on le rencontre dans les deux appuis linéaires, rectiligne et annulaire. Il supporte davantage d'efforts que le contact ponctuel, mais les imperfections des surfaces font que l'on ne connaît jamais avec précision les zones réelles dans lesquelles se font les portées entre les pièces. contact surfacique : on le trouve dans l'appui plan, le pivot glissant et la rotule. Pour l'obtenir, il faut deux surfaces complémentaires présentant des courbures opposées. En pratique les efforts transmis sont beaucoup plus importants que pour les contacts ponctuel et linéique, tandis que les zones réelles de portées sont toujours très mal déterminées. Ces liaisons seront donc refusées s'il faut transmettre des informations et au contraire recherchées pour transmettre des puissances.
Liaisons unilatérales et bilatérales Une liaison unilatérale transmet certains efforts ou interdit certains mouvements dans un seul sens. Une liaison bilatérale qui transmet un effort transmet aussi l'effort opposé et de même, si elle interdit un mouvement, elle interdit également le mouvement opposé.
Les trois liaisons qui comportent un plan, c'est-à-dire l'appui ponctuel, l'appui linéaire rectiligne et l'appui plan, sont des liaisons unilatérales. Au contraire, l'appui linéaire annulaire, le pivot glissant et la rotule sont des liaisons bilatérales.
Une liaison unilatérale transmet les efforts dans un seul sens, et elle le fait alors sans jeu. Si les efforts changent de sens, elle n'existe plus. Une liaison bilatérale subsiste lorsque les efforts transmis changent de sens, mais le jeu se rattrape alors d'un côté ou de l'autre et les positions relatives des pièces ne sont plus déterminées avec une grande précision.
On raisonne souvent comme si les liaisons unilatérales étaient en fait bilatérales. Après tout, loger une sphère, un cylindre ou un « bloc » entre deux plans parallèles n'est pas vraiment plus difficile que d'ajuster deux sphères l'une à l'autre pour former une rotule.
Actions directes, efforts de liaison Lorsque l'on étudie l'équilibre d'une pièce, il faut commencer par l'« isoler » et faire l'inventaire de tous les efforts extérieurs qu'elle subit. On s'aperçoit alors que ces efforts sont de deux sortes : les actions directes, appliquées autrement que par les liaisons et a priori connues ; on compte dans cette catégorie les forces de volume (poids, attractions électrique et magnétique), certaines forces de surface (pression d'un fluide, poussée du vent...), et celles que l'on applique volontairement (couple moteur, traction d'un ressort...), les efforts de liaison, qui sont les forces et les couples appliqués par les diverses pièces liées à celle que l'on étudie. Ces efforts sont a priori en partie inconnus.
Références centrées, degrés de liaison, degrés de liberté Le mouvement d'une pièce P totalement libre dans l'espace par rapport au bâti peut être défini en un point par une vitesse linéaire et un taux de rotation. De même, une pièce totalement liée au bâti peut lui transmettre une action mécanique définie en un point par une force et un moment. Dans un cas comme dans l'autre, le mouvement et l'action mécanique peuvent prendre toutes les valeurs imaginables et pour les exprimer analytiquement, il faut six nombres algébriques dont chacun peut ne pas être nul. Dans le premier cas, tous les mouvements sont possibles, ce qui ne veut pas dire qu'ils aient effectivement lieu, c'est pourquoi on parlera de mouvements relatifs autorisés de P par rapport au bâti. Dans le second, tous les efforts peuvent être transmis, mais ils n'existent pas forcément, on parlera donc d'efforts transmissibles de P sur le bâti.
Références centrées On prend maintenant pour exemple un mécanisme constitué d'une tige cylindrique montée dans un alésage du socle, donc liée à celui-ci par un pivot glissant.
On comprend facilement, compte tenu des hypothèses posées précédemment, que les particularités des mouvements autorisés et des efforts transmissibles par cette liaison ne dépendent ni de la longueur du cylindre selon lequel se fait le contact, ni de son diamètre, ni de sa position longitudinale, ni du fait que ce cylindre puisse être morcelé en plusieurs parties. On parle bien ici des particularités, pas des valeurs numériques. Pour les exprimer, il faut se référer à l'axe commun aux deux cylindres, qui constitue la référence centrée du pivot glissant.
Les références centrées sont en quelque sorte les « squelettes » des liaisons :
liaison références centrées appui ponctuel la normale commune aux deux surfaces, et pas seulement le point de contact comme on le pense généralement à tort appui linéaire rectiligne le plan normal aux deux surfaces qui passe par la droite de contact, et pas seulement cette dernière appui plan n'importe quelle normale aux plans, donc propriétés identiques dans tout l'espace ! appui linéaire annulaire l'axe du cylindre ET le centre de la sphère pivot glissant l'axe commun aux deux cylindres rotule le centre commun aux deux sphères
On doit toujours garder cette liste présente à l'esprit !
Un système d'axes, un ensemble de notations, ne sont que des outils, qu'il faut choisir avec discernement, et seulement si l'on en a vraiment besoin. En les choisissant mal, on complique les problèmes d'une manière redoutable et l'on finit par échouer avec panache ! S'il faut utiliser un système d'axes, on ne le placera pas n'importe comment, on l'appuiera au contraire sur les références centrées des liaisons pour que les efforts ou les mouvements puissent être exprimés de la façon la plus simple possible.
Degrés de liaison, degrés de liberté On prend ici le pivot glissant comme exemple ; il peut être étudié en statique ou en cinématique, peu importe, mais souvent il faut faire les deux études car on a besoin des ensembles de valeurs numériques qui définissent les efforts et les vitesses.
en statiqueen cinématique Par hypothèse, la tige T doit rester en équilibre par rapport au bâti. Si nous lui appliquons une force dirigée suivant l'axe du pivot glissant ou un moment parallèle à cet axe, nous la faisons bouger ... et nous ne sommes plus en statique. Toutes les actions directes ne sont donc pas transmissibles au bâti et les inconnues sont les efforts de liaison. L'étude cinématique des mécanismes fait toujours apparaître la solution banale du repos complet : toutes les vitesses sont nulles. Reste à savoir s'il existe une possibilité de mouvement de la tige T compatible avec les liaisons ; on cherche donc les 6 inconnues qui caractérisent le mouvement de la tige T par rapport au bâti. Les forces dont les lignes d'action sont perpendiculaires à l'axe (on dit bien perpendiculaires, pas orthogonales) peuvent être transmises de la tige au socle sans engendrer de mouvement. Il en va de même pour tous les moments orthogonaux à l'axe.