La persistance d'un nombre est, en mathématiques, le nombre d'étapes nécessaires pour atteindre un point fixe, lorsqu'on effectue par itérations successives soit la somme des chiffres du nombre, soit leur produit.
Persistance additive
Pour obtenir la persistance additive d'un nombre entier naturel, le principe consiste à additionner les chiffres de ce nombre, puis à recommencer avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Par exemple, pour le nombre 2718, on obtient : 2718 → 18 → 9. Comme il faut 2 étapes pour obtenir un nombre à un chiffre, la persistance additive de 2718 est égale à 2.
Le résultat final, 9 pour cet exemple, s'appelle la racine numérique additive, ou cible additive du nombre ; un nombre étant congru à la somme de ses chiffres modulo 9, ce résultat est le reste dans la division par 9 du nombre, en remplaçant 0 par 9 si le reste est nul.
La persistance additive est non bornée En effet, si un nombre a pour persistance additive , le nombre formé de chiffres 1 (un rep-unit) a pour persistance additive .
Plus petits nombres de persistance additive donnée Le tableau suivant donne les plus petits nombres pour les premières persistances additives ().La suite est la suite définie par .
Démonstration du fait que ainsi défini est le plus petit nombre de persistance additive :
La formule de récurrence signifie que s'écrit avec un chiffre 1 suivi de chiffres 9 : la somme de ses chiffres est donc égale à et étant de persistance additive 1, est bien de persistance additive .
De plus, si un nombre est strictement inférieur à un nombre commençant par le chiffre 1 et suivi uniquement de chiffres 9 : soit il a autant de chiffres que , et, commençant par un 1, la somme de ses chiffres est strictement inférieure à celle de , soit il a moins de chiffres et la somme de ses chiffres est aussi strictement inférieure à celle de .
Si donc on suppose (hypothèse de récurrence) que est le plus petit nombre de persistance , la somme des chiffres d'un nombre est strictement inférieure à celle de laquelle vaut , donc la somme des chiffres de est égale à un nombre de persistance . Donc tout nombre a une persistance et est le plus petit nombre de persistance .
L'initialisation de la récurrence est correcte car et le plus petit nombre de persistance 1.
Persistance multiplicative On obtient la persistance multiplicative d'un nombre en multipliant ses chiffres entre eux, puis en recommençant avec le résultat obtenu jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Par exemple, la persistance multiplicative de 39 est égale à 3, car il faut 3 étapes pour le réduire à un nombre à un chiffre : 39 → 27 → 14 → 4. Le résultat obtenu, ici 4, s'appelle la racine numérique multiplicative (ou la cible multiplicative) du nombre 39.
Problème de la borne supérieure de la persistance multiplicative Actuellement, en base 10, on conjecture qu'il n'existe pas de nombre dont la persistance multiplicative est supérieure à 11. La plus ancienne mention connue de ce problème. est un article de Neil Sloane publié en 1973.. En 2013, Francesco De Comité a vérifié par ordinateur tous les nombres jusqu'à 10500 et cela a été vérifié jusqu'à 1020585 en 2016.
Le tableau suivant donne les plus petits nombres de persistance multiplicative donnée ().
Basé sur la reformulation 4.2 de l'article "Suite multiplicative", une méthode pour résoudre ce problème serait d'utiliser des règles de langage pour décrire chaque groupe d'une persistance multiplicative donné dans une base donnée. Il faudrait ensuite vérifier si tous ces ensembles décrits par ces règles de langage, décrivent bien tous les entiers naturels ou non (dans la base donnée). Dans le cas contraire, on peut construire un contre exemple. Mais cette méthode est fastidieuse.
Dernières avancées Un papier de 2021 indique que la conjecture est vraie pour les nombres dont la racine numérique (ou cible) est impaire.
Plus précisément, il démontre que si la cible d'un nombre à deux chiffres est la persistance est égale à 1, et que si la cible est 5, la persistance est inférieure ou égale à 5. Par exemple, pour le cas de la cible 1, cela revient à démontrer qu'un nombre formé de chiffres 1 (un rep-unit) ne peut être produit d'entiers naturels .
Dans d'autres bases Dans son article, Sloane mentionne une conjecture plus générale : pour toute base de numération , il existe une constante telle qu’aucun entier exprimé dans cette base n’a une persistance multiplicative supérieure à .
Il est évident que puisqu'en base 2 les seuls chiffres sont 0 ou 1 ; on conjecture que ce qui serait une conséquence du fait non prouvé que l'écriture de toute puissance de 2 contient un chiffre zéro au-delà de en base 3 .
Les premières valeurs conjecturées des sont indiquées dans ce tableau () : +23456789101336586711
Variante de Paul Erdős Comme un 0 parmi les chiffres écourte l’algorithme multiplicatif, Paul Erdős a proposé la variante où l’on ne s’occupe pas des chiffres nuls.
On a, par exemple, la suite : 4570 → 140 → 4.
On trouve régulièrement des nombres de persistance multiplicative à la Erdős de plus en plus grande (en , a été trouvée une persistance égale à 39, voir la , ce qui laisse penser que cette persistance n’est peut-être pas majorée.
Références
Voir aussi
Nombre heureux (où l'algorithme consiste à itérer la somme des carrés des chiffres). Algorithme de Kaprekar (où l'on soustrait le nombre obtenu en ordonnant les chiffres dans l'ordre croissant du nombre obtenu en ordonnant les chiffres en décroissant)
Bibliographie . . .
Liens externes
Catégorie:Arithmétique élémentaire