En théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie LegendreA. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, 1798, ., au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.
Définition
Il ne dépend donc que de la classe de modulo .
Le cas particulier est inclus dans cette définition mais sans intérêt : vaut 0 si est pair et 1 sinon.
Propriétés du symbole de Legendre
Critère d'Euler
Si est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier : Pour une démonstration, voir par exemple .
Multiplicativité L'application est complètement multiplicative (c'est une conséquence immédiate du critère d'Euler).
Lemme de Gauss
Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors , où est défini de la façon suivante :
Loi de réciprocité quadratique
Si est un autre nombre premier impair alors
Généralisation du symbole de Legendre
Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre , l'entier est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où est un nombre composé.
Analyse harmonique sur (ℤ/pℤ)*
La multiplicativité complète du symbole de Legendre montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme de (ℤ/pℤ)* dans {–1, 1} ; c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss, utilisées dans l'une des démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.
Notes et références
Catégorie:Caractère de Dirichlet