En mathématiques, le lemme de Gauss originel énonce que si un polynôme à coefficients entiers est produit de deux polynômes unitaires à coefficients rationnels, ceux-ci sont en fait nécessairement à coefficients entiers.
Sa version moderne en est une double généralisation, remplaçant l'anneau des entiers par un anneau factoriel A, et stipulant que le produit de deux polynômes primitifs ( à coefficients premiers entre eux) est primitif. Elle permet de démontrer la factorialité de l'anneau A[X].
Versions historiques Le lemme originel apparaît dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme contraposée suivanteCité d'après la (Le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes ».) :
Harold Edwards remarque que cette version historique a l'avantage, par rapport à la ci-dessous, de se prêter à une , dans laquelle les entiers usuels sont remplacés par les entiers algébriques, et les nombres rationnels par les nombres algébriques., l'énonce sous le nom de , en remplaçant les entiers algébriques par les éléments entiers sur un anneau commutatif unifère quelconque A et le corps des nombres algébriques par un sur-anneau quelconque de A.. Richard Dedekind a redécouvert (dix ans après Leopold Kronecker) une version encore plus générale (il l'avait dans un premier temps formulée seulement pour les entiers usuels) :
La version de Kronecker était en réalité bien plus générique, Th. 6., Cor. 7.7. :
De plus, en se passant (comme le théorème de Prague) de l'hypothèse « polynômes unitaires », elle englobait aussi la version moderne ci-dessous :
Version moderne
Pour exprimer la version moderne du lemme de Gauss, on a besoin de deux notions : celle de polynôme primitif et celle de contenu d'un polynôme :
La version moderne du lemme de Gauss est alors, selon les auteurs, l'un, mais seulement pour A = ℤ. ou l'autre, § 3, , lemme 1., chap. V, § 6 (éd. ang. p. 126-128)., mais seulement pour des polynômes de ℤ[X]. des deux théorèmes équivalents suivants, ou les deux., mais seulement pour des polynômes de A[X]., énoncés le plus souvent seulement pour un anneau factoriel A.
Plus précisément, en particulier Th. 3.1, Ex. 3.7 et Ex. 3.12., pour tout anneau intègre A : si A est à PGCD alors il vérifie le lemme de Gauss usuel : si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c ; s'il vérifie ce lemme alors il vérifie la propriété « PP » (primalité avec un produit) : si a est premier avec b et c alors il est premier avec bc ; PP équivaut au point 1 ci-dessus (donc aussi au point 2 lorsque A est à PGCD) ; les deux implications élémentaires « à PGCD ⇒ Gauss usuel » et « Gauss usuel ⇒ PP » sont strictes. L'implication « PP ⇒ point 1 » est donc le point clé de la version moderne ci-dessus.
Applications Le corollaire suivant de cette version moderne est énoncé lui aussi le plus souvent seulement pour un anneau A factoriel, et avec « premier dans A[X] » remplacé (provisoirement) par « irréductible dans A[X] ».. Il est parfois appelé lui aussi « lemme de Gauss », mais seulement pour A = ℤ. :
On déduit de ce corollaire que si A est un anneau intègre à PGCD alors l'anneau de polynômes en plusieurs indéterminées A[(X)] aussi (que I soit fini ou infini), et que de même, si A est un anneau factoriel alors l'anneau de polynômes A[X] est factoriel (donc tout anneau de polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans A est aussi factoriel).
Ce corollaire peut aussi être utilisé pour démontrer le critère d'irréductibilité d'Eisenstein.
Enfin, la version de Gauss suffit pour démontrer que les polynômes cyclotomiques (unitaires à coefficients entiers) sont irréductibles.
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Polynôme Catégorie:Carl Friedrich Gauss Gauss