En mathématiques, un nombre noncototient est un entier strictement positif n qui ne peut pas s'écrire sous la forme où est la fonction cototient définie par où φ est l'indicatrice d'Euler (ou fonction totient). C'est un nombre qui ne peut pas représenter le nombre d'entiers différents de 1 et plus petit qu'un entier et possédant avec des diviseurs communs.
Il a été conjecturé que tous les nombres noncototients étaient pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être noncototient.. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors
Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre impair plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est noncototient. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).
La suite des nombres noncototients () commence par : 10, 26, 34, 50, 52.
Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité de nombres noncototients. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k. est un noncototient. Depuis, Flammenkamp et Luca. ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, de noncototients.
Notes et références
Voir aussi Nombre nontotient
Catégorie:Test de primalité Catégorie:Propriété arithmétique