thumb|right|Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé La moyenne géométrique de deux nombres réels strictement positifs distincts est strictement inférieure à leur moyenne arithmétique :

et plus généralement avec nombres réels strictement positifs : , avec égalité si et seulement si .

Démonstrations Le cas avec deux réels peut se démontrer directement avec les identités remarquables : si et sont deux réels distincts, alors (identité de Legendre) d’où l’on tire et on conclut en appliquant la fonction racine carrée (qui est strictement croissante).

Avec nombres réels , les deux réels (moyenne arithmétique) et (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites et .

On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction sur l'ensemble .

Preuve de Pólya George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en utilisant l'inégalité :

On considère ensuite des nombres réels strictement positifs. On pose ensuite :

On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres , ce qui donne :

dont le produit donne :

soit

ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les sont tous égaux (à )..

Preuve d'Aizer Horst Aizer donne cette preuve. : soit une fonction réelle continue telle qu'il existe vérifiant

On a alors :

On applique ce résultat à :

On en déduit

soit

donc . Considérer ou permet de conclure.

Preuve de Schlömilch Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire.. On considère l'identité :

qu'on peut obtenir en dérivant l'expression de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour positif. On a donc, pour positif :

avec égalité en . La substitution donne

avec égalité si et seulement si . On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur pour conclure.

Preuve matricielle Fergus Gaines donne une preuve. reposant sur une inégalité de Schur. qui stipule que, pour une matrice carrée de valeurs propres :

avec égalité si et seulement si est normale.

Appliquée à la matrice

et en remarquant que , les valeurs propres de sont L'inégalité de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si , c'est-à-dire lorsque les sont tous égaux.

Généralisations

Pondération L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun n'est nul et en notant (strictement positifs et de somme ), l'inégalité équivaut à ,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

Inégalité de Maclaurin On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

Et on peut généraliser :

soit

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Majoration de l'écart Il existe une majoration de l'écart entre les deux moyennes: ,

qui est une égalité pour : .

Cette inégalité est une conséquence de l'inégalité de convexité de Vasile Cîrtoaje:

pour une fonction convexe, en prenant et .

Références

Voir aussi Articles connexes

Liens externes René Adad, Moyennes arithmétique et géométrique.

Bibliographie ,

Arithmetico-geometrique Catégorie:Moyenne Catégorie:Analyse convexe