Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à en 1951 (d'où son nom), (qui l'a généralisé) et Wolfgang Krull (qui en a été le premier découvreur).
Énoncés
Un énoncé général est le suivant :
La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :
Le corollaire suivantPour une preuve directe, voir par exemple ou est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :
(En effet, pour tout élément de , est inversible.)
Démonstrations
Cas particulier Soit une famille génératrice de M. Il existe des tels que pour tout i, . En notant Y la matrice des et d le déterminant de , on en déduit que dM=(0) (car tous les sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à . (On peut aussi invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)
Cas général
Le -module est de type fini et vérifie , il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément tel que ce qui revient à .
Références
Catégorie:Algèbre commutative Nakayama