En mathématiques, est appelée structure un ensemble muni d'une ou de plusieurs relations entre les éléments de cet ensemble, et/ou d'opérations sur les éléments de cet ensemble, qui doivent vérifier un certain nombre de propriétés, appelés axiomes de la structure. Par exemple un groupe est une structure, soit un ensemble muni d'une opération sur cet ensemble (et vérifiant certains axiomes). La notion se généralise à plusieurs ensembles. Par exemple un plan affine peut être défini comme une structure d'incidence, soient deux ensembles de points et de droites et une relation entre ces points et ces droites.
Bourbaki a particulièrement insisté sur la notion de structure. Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé structuralisme mathématique.
Histoire de la structure Les structures avant Bourbaki
En histoire des mathématiques, quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'Antiquité. Ainsi, le calcul différentiel et intégral, inventé au par Leibniz et Newton, était déjà utilisé de manière embryonnaire et naïve chez Eudoxe et Archimède. Il en va de même avec l'invention de la notion de structure mathématique : son utilisation a précédé sa première formulation explicite. Il est par conséquent aussi aisé de repérer dans l'histoire des mathématiques les premiers auteurs définissant et commentant la notion de structure, que difficile de retrouver les premiers à l'avoir utilisée sans l'expliciter.
En arithmétique modulaire, l'idée de structure apparaît vraiment avec l'approche de Carl Friedrich Gauss dans les Disquisitiones arithmeticae (1801). Il étudie les restes de la division euclidienne sous un angle structurel ; c'est ainsi l'une des origines de la théorie des groupes.
En théorie de Galois, l'approche est essentiellement structurelle pour Évariste Galois à travers les symétries, chez Camille Jordan à travers la théorie des groupes, chez Leopold Kronecker à travers la théorie des corps.
En algèbre linéaire, l'idée de structure apparaît deux fois : en géométrie euclidienne, une approche axiomatique se fait finalement ressentir pour devenir obligatoire (cf. axiomes de Hilbert) ; puis avec les tentatives de formalisation des espaces vectoriels par Grassmann ou Peano, et enfin chez Banach et Bourbaki.
En géométrie différentielle, l'idée de structure apparaît avec l'approche de Riemann.
Les structures chez Bourbaki
C'est le groupe de mathématiciens publiant sous le pseudonyme de Nicolas Bourbaki qui a développé pour la première fois la théorie des structures de manière explicite et rigoureuse dans ses Éléments de mathématique à partir des années 1930.
Structure et axiomatique
La notion de structure dérive de la méthode axiomatique adoptée par Bourbaki. Cette axiomatique permet de mettre au jour une unité profonde entre diverses branches des mathématiques, considérées comme distinctes dans la classification traditionnelle des disciplines mathématiques (arithmétique, algèbre, analyse, géométrie) :
Ces noyaux constitutifs des branches des mathématiques sont les structures mêmes :
Mise au jour et définition des structures
Voici comment Bourbaki décrit la méthode de mise au jour des structures dans l'article L'Architecture des mathématiques :
S'appuyant sur un exemple historiquement significatif, la définition du groupe, première structure jamais dégagée, Bourbaki conclut par une définition globale de la structure :
En note, Bourbaki observe : (l'emploi du singulier soulignant l'unité de la discipline amenée par la notion de structure). Bourbaki distingue ainsi principalement trois types de structures, les : la structure algébrique, dont les relations sont des lois de composition, la structure d'ordre, et la structure topologique.
Une nouvelle classification des disciplines mathématiques
La classification structurale a pour conséquence de remettre en question la classification traditionnelle des mathématiques :
« Au lieu des compartiments bien délimités de l'Algèbre, de l'Analyse, de la Théorie des Nombres et de la Géométrie, nous verrons, par exemple, la théorie des nombres premiers voisiner avec celle des courbes algébriques, ou la géométrie euclidienne avec les équations intégrales ; et le principe ordonnateur sera la conception d'une hiérarchie de structures, allant du simple au complexe, du général au particulier. »
Les structures-mères peuvent recevoir des axiomes supplémentaires ; selon les exemples de Bourbaki, on peut ainsi concevoir, pour cas particuliers de la structure algébrique de groupe, les groupes finis, les groupes abéliens, et les groupes abéliens finis ; pour la structure d'ordre, la structure d'ensemble totalement ordonné, et dans cette dernière celle d'ensemble bien ordonné.
En outre, on peut définir des « structures [...] multiples », combinant d'autres structures : algèbre topologique, topologie algébrique, la combinaison des structures d'ordre et des structures algébriques, etc. Les « théories particulières » — analyse, géométrie, théorie des nombres, etc — constituent ainsi des subdivisions de ces grandes structures :
« Elles ont perdu leur autonomie d'autrefois, et sont maintenant des carrefours où viennent se croiser et agir les unes sur les autres de nombreuses structures mathématiques plus générales. »
Nuances chez Bourbaki
Tout d'abord, on ne saurait toutefois suspecter Bourbaki d'« hypostasier » les structures, car le collectif de mathématiciens est conscient que cette notion correspond seulement à une méthode d'exposition, sans engager pour autant la « nature profonde » des mathématiques. Il reconnaît ainsi le caractère « artificiel [de] ce principe de classification dès que s'enchevêtrent les structures », et ne l'utilise que comme un moyen d'exposition.
En outre, dans l'article L'Architecture des mathématiques, Bourbaki avoue trois inconvénients de cette théorie des structures : « elle est à la fois schématique, idéalisée et figée. » Schématique, car dans le détail il existe « d'inattendus retours en arrière », comme l'intervention des nombres réels pour fonder la topologie. Idéalisée, car « dans certaines théories (par exemple en Théorie des Nombres), il subsiste de très nombreux résultats isolés qu'on ne sait jusqu'ici classer ni relier de façon satisfaisante à des structures connues ». Et figée, car les structures ne sont pas « immuables », et peuvent se prêter à des inventions ou reformulations futures.
Les précautions dont fait preuve Bourbaki montrent qu'il ne saurait être accusé d'avoir essayé de « geler » ou de rigidifier la recherche mathématique, comme on le lui a parfois reproché.
Liste de structures
Voici une liste non exhaustive de structures : des structures algébriques : magma, monoïde, demi-groupe, groupe, anneau, corps commutatif, espace vectoriel, module, algèbre... des structures d'ordre ; des structures métriques ; des structures topologiques ; des structures uniformes ; des structures différentielles.
Influence hors des mathématiques Sciences humaines
Le structuralisme mathématique a influencé des chercheurs en sciences humaines du mouvement structuraliste, à commencer par son initiateur, l'anthropologue Claude Lévi-Strauss ; celui-ci a d'ailleurs travaillé avec le mathématicien André Weil, membre de Bourbaki, lors de ses recherches pour Les Structures élémentaires de la parenté (chapitre XIV).
Philosophie
Dans la Philosophie de l'algèbre, en particulier en conclusion, Jules Vuillemin a également proposé de réviser la pratique philosophique en suivant le modèle de l'algèbre, qui au cours de son histoire s'est abstraite de problèmes concrets vers l'étude de structures abstraites. Parmi les dédicataires de cet ouvrage figure Pierre Samuel, qui manifestement aida Vuillemin dans la rédaction du livreLa Philosophie de l'algèbre, Première partie, chapitre 4, §31, p. 277, note 1., et fut un membre de Bourbaki.
Voir aussi
L'article Structure (logique mathématique) concerne la notion de structure en logique mathématique, et plus précisément en théorie des modèles, qui intervient en un sens proche de celle de modèle.
Annexes Notes et références
Bibliographie
Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique Nicolas Bourbaki, « L'Architecture des mathématiques », in François Le Lionnais, Les grands courants de la pensée mathématique, Paris, Hermann, coll. Histoire de la pensée, 1948, rééd. 1997, (principalement ). Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Hermann, , sq. Maurice Mashaal, Bourbaki. Une société secrète de mathématiciens, Pour La Science (2000), sq. Piergiorgio Odifreddi, Les Mathématiques à l'aube du , Paris, Belin, coll. Regards sur la science, 2004, , .
Catégorie:Structure algébrique