En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy (ou nombres premiers sexysSelon l’orthographe recommandée depuis les rectifications orthographiques du français en 1990.) est un couple de nombres premiers dont la différence est égale à 6 (autrement dit, un couple de la forme où et sont des nombres premiers). C'est le cas, par exemple, des nombres 5 et 11. Certains de ces nombres premiers sont consécutifs ; par exemple, 23 et 29 sont premiers et il n'y a pas de nombre premier entre eux deux.
Le terme « sexy » est un jeu de mots fondé sur le mot latin pour « six » : sex.
Groupements
Couples
Les couples de nombres premiers sexy (suites et de l'OEIS, ou suite ) inférieurs à 500 sont :
(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)
En gras, les couples formés de premiers consécutifs, dont les premiers termes sont donnés par .
Les autres couples sont formés des valeurs extrêmes des triplets-premiers, soit du type comme (5, 7, 11) (), soit du type comme (7, 11, 13) ().
On conjecture que chacune des trois familles est infinie (conjecture des constellations).
En novembre 2005, le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est pour , où 7879# est une primorielle. Il est composé de chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005..
En , le plus grand couple de nombres premiers sexy connu est pour
Il a été découvert par P. Kaiser et est composé de chiffres.
Triplets Comme les nombres premiers cousins, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des suites finies plus longues.
Les triplets de nombres premiers sexys sont les triplets de nombres premiers de la forme tels que est composé (non premier). Les triplets inférieurs à (suites , et de l'OEIS) sont :
(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)
En , le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu (qui s'écrivent avec 10602 chiffres), découvert par Gerd Lamprecht et Norman Luhn, est pour : 2683143625525x235176+1.
Quadruplets De façon similaire, on peut définir des quadruplets de nombres premiers sexys . À l'exception du quadruplet (5, 11, 17, 23), l'écriture décimale de finit forcément par 1. Les quadruplets inférieurs à (suites , , et de l'OEIS) sont :
(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659).
En octobre 2019 Gerd Lamprecht et Norman Luhn ont découvert un quadruplet dont les termes possèdent 3025 chiffres avec :
121152729080 × 7019#/1729 + 1. où 7019# est une primorielle.
Quintuplet
Comme dans une progression arithmétique de raison 6, un terme sur 5 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5, 11, 17, 23, 29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.)Démonstrations détaillées sur le site ChronoMath..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Conjecture de Polignac Nombres premiers jumeaux (deux nombres premiers qui diffèrent de 2) Nombres premiers cousins (deux nombres premiers qui diffèrent de 4) Liens externes
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