Nombre premier de Sophie Germain

Un nombre premier G est appelé nombre premier de Sophie Germain si 2G + 1 est aussi un nombre premier, qui est alors appelé nombre premier sûr et noté S dans ce qui suit.

Un corollaire du théorème de Sophie Germain est que pour ces nombres premiers, un cas particulier du dernier théorème de Fermat (le ) est vrai, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers x, y, z tous trois non divisibles par G tels que

Il est conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain ; cependant, comme pour la conjecture des nombres premiers jumeaux, cela n'a pour le moment pas été démontré.

Listes de nombres premiers de Sophie Germain Les quarante-cinq premiers nombres premiers de Sophie Germain sont (voir ) :

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, , , , , , , et .

Ils sont classés dans les deux tableaux ci-dessous, ordonnés sous la forme G inscrite en gras sous leur occurrence dans la liste complète des nombres premiers p, associés à leur nombre premier sûr noté S = 2G + 1 dans la case immédiatement au-dessous.

Les seize nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et 127 sont présentés dans le tableau 1 ci-dessous. À partir de 131, les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

+ Tableau 1 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 127, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1. décadesd'entiers n premièredécade deuxièmedécade troisièmedécade quatrièmedécade cinquièmedécade sixièmedécade septièmedécade huitièmedécade neuvièmedécade dixièmedécade onzièmedécade douzièmedécade treizièmedécade entiers n = 00 à 09 10 à 19 20 à 29 30 à 39 40 à 49 50 à 59 60 à 69 70 à 79 80 à 89 90 à 99 100 à 109 110 à 119 120 à 127 premiers dont G et S -Le nombre 0 n'est pas premier. Par conséquent 1 = 2 × 0 + 1 n'est pas un nombre premier sûr. 11G et S 23G et S 31 41G 53G 61 71 83G et S 97 101 113G 127 S - S=23 S=47 - S=83 S=107 - - S=167 - - S=227 - premiers dont G et S -Le nombre 1 n'est pas premier. Par conséquent 3 = 2 × 1 + 1 n'est pas un nombre premier sûr. 13 29G 37 43 59S 67 73 89G   103   (131)(G) S - - S=59 - - - - - S=179   -   (S=263) premiers dont G et S 2G 17     47S     79     107S   (173)(G) S S=5 -     -     -     -   (S=347) premiers dont G et S 3G 19                 109   (179)(S et G) S S=7 - - (S=359) premiers dont G et S 5G et S (191)(G) S S=11 (S=383) premiers dont G et S 7S (233)(G) S - (S=467) sous-totaux des p, G, S, par décade 4 p3 G2 S 4 p1 G1 S 2 p2 G1 S 2 p0 G0 S 3 p1 G1 S 2 p1 G1 S 2 p0 G0 S 3 p0 G0 S 2 p2 G1 S 1 p0 G0 S 4 p0 G1 S 1 p1 G0 S 1 p0 G0 S Totaux et ratios A- A1 -25 soit 25 % de p parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99, à comparer à : 10 soit 10 % de G parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. 7 soit 7 % de S parmi les 100 entiers n compris entre 0 et 99. - A2 -46 soit 23 % de « p » parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199, à comparer à : 15 soit 7,5 % de G parmi les 200 entiers « n » compris entre 0 et 199. 10 soit 5 % de S dilués parmi les 200 entiers n compris entre 0 et 199.   Totaux et ratios B- B1 -31 soit 24 % de p parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127, à comparer à : 11 soit 8,6 % de G parmi les 128 entiers n compris entre 0 et 127. 8 soit 6,25 % de S parmi les 128 entiers « n » compris entre 0 et 127. - B2 -54 soit 21 % de p parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255, à comparer à : 18 soit 7 % de « G » parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255Les deux nombres premiers de Sophie Germain complémentaires inférieurs à 256 qui n'apparaissent pas dans le tableau sont : G = 239 et G = 251.. 11 soit 4,3 % de S dilués parmi les 256 entiers n compris entre 0 et 255.

Les nombres premiers de Sophie Germain G compris entre 2 et sont présentés dans le tableau 2 ci-dessous. À partir de , les nombres premiers ordinaires p intermédiaires ne sont plus indiqués.

+ Tableau 2 : Tous les nombres premiers p compris entre 0 et 1023, dont les premiers de Sophie Germain G ; leurs premiers sûrs résultants S = 2G + 1. centaines d'entiers n premiercent deuxièmecent troisièmecent quatrièmecent cinquièmecent sixièmecent septièmecent huitièmecent neuvièmecent dixièmecent + 23 → 1023 Typ Qté 00 10 20 00 10 20 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 pGS 01 2G 31 73 101 151 199 211 269 307 367 401 461 503S 577 601 659G 701 769 809G 863S 907 977 1009 S   S=5 - - - - - - - - - - - - - - S=1319 - - S=1619 - - - - pGS 02 3G 37 79 103 157   223 271 311 373 409 463 509G 587S 607 661 709 773 811 877 911G 983S 1013G S   S=7 - - - -   - - - - - - S=1019 - - - - - - - S=1823 - S=2027 pGS 03 5GS 41G 83GS 107S 163   227S 277 313 379 419G 467S 521 593G 613 673 719GS 787 821 881 919 991 1019GS S   S=11 S=83 S=167 - -   - - - - S=839 - - S=1187 - - S=1439 - - - - - S=2039 pGS 04 7S 43 89G 109 167S   229 281G 317 383S 421 479S 523 599 617 677 727 797 823 883 929 997 1021 S   - - S=179 - -   - S=563 - - - - - - - - - - - - - - - pGS 05 11GS 47S 97 113G 173G   233G 283 331 389 431G 487 541   619 683G 733   827 887S 937   (1031)(G) S   S=23 - - S=227 S=347   S=467 - - - S=863 - -   - S=1367 -   - - -   (S= 2063) pGS 06 13 53G 127 179GS   239G 293G 337 397 433 491G 547   631 691 739   829   941   (1049)(G) S   - S=107   - S=359   S=479 S=587 - - - S=983 -   - - -   - -   (S= 2099) pGS 07 17 59S   131G 181   241   347S   439 499 557   641G   743G   839S   947   (1103)(G) S   - -   S=263 -   -   -   - - -   S=1283   S=1487   -   -   (S= 2207) pGS 08 19 61   137 191G   251G   349   443G   563S   643   751   853   953G   (1223)(G) S   - -   - S=383 S=503   -   S=887   -   -   -   -   S=1907   (S= 2447) pGS 09 23GS 67   139 193   257   353   449   569   647   757   857   967   (1229)(G) S   S=47 -   - -   -   -   -   -   -   -   -   -   (S= 2459) pGS 10 29G 71   149 197   263S   359GS   457   571   653G   761G   859   971   (1289)(G) S   S=59 -   - -   -   S=759   -   -   S=1307   S=1523   -   -   (S= 2579) ss-totaux et ratios par cent 25 p → 25 %10 G → 10 %7 S → 7 % 21 p → 21 %5 G → 5 %3 S → 3 % 16 p → 16 %5 G → 5 %2 S → 2 % 16 p → 16 %1 G → 1 %3 S → 3 % 17 p → 17 %4 G → 4 %2 S → 2 % 14 p → 14 %2 G → 2 %3 S → 3 % 16 p → 16 %4 G → 4 %0 S → 0 % 14 p → 14 %3 G → 3 %1 S → 1 % 15 p → 15 %1 G → 1 %3 S → 3 % 14 p → 14 %2 G → 2 %1 S → 1 % 4 p 2 G1 S Totaux et ratios A - A1 -168 soit 16,8 % de p parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999, à comparer à : 37 soit 3,70 % de G parmi les 1 000 entiers n compris entre 0 et 999. 25 soit 2,50 % de S parmi les 1000 entiers n compris entre 0 et 999. - A2 -303 soit 15,2 % de p parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999, à comparer à : ? soit ? % de G parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999. 37 soit 1,85 % de S dilués parmi les 2 000 entiers n compris entre 0 et 1 999.   Totaux et ratios B - B1 -172 soit 16,8 % de p parmi les 1 024 entiers n compris entre 0 et 1 023, à comparer à : 39 soit 3,81 % de G parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1023. 26 soit 2,54 % de S parmi les 1024 entiers n compris entre 0 et 1 023. - B2 -309 soit 15,1 % de p parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047, à comparer à : ? soit ? % de G parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047. 39 soit 1,90 % de S dilués parmi les 2 048 entiers n compris entre 0 et 2 047.

Quantité de nombres premiers de Sophie Germain Une estimation heuristique pour la quantité de nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à n est. 2C n / (ln n)² où C est la constante des nombres premiers jumeaux, approximativement égale à 0,660161. Pour n = 10, cette estimation prédit 156 nombres premiers de Sophie Germain, qui est de 20 % d'erreur comparé à la valeur exacte de 190. Pour n = 10, l'estimation prédit , qui est d'un écart de 10 % par rapport à la valeur exacte de .

Chaîne de Cunningham

Une suite {p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...} de nombres premiers de Sophie Germain est appelée une chaîne de Cunningham de première espèce. Chaque terme d'une telle suite, à l'exception du premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.

Exemple d'application

Soit un nombre premier de la forme . Alors est un nombre premier de Sophie Germain si et seulement si le nombre de Mersenne est un nombre composé dont est un diviseur, chapitre 6 (« Le théorème de Fermat et ses conséquences »), section 6.15.. Ce théorème dû à Euler peut être utilisé comme test de primalité; par exemple 83 est premier (et 83 = 4 × 20 + 3) de même que 167 = 2 × 83 + 1. Par conséquent est divisible par 167 et n'est donc pas premier.

Références

Voir aussi Articles connexes

Conjecture de Dickson Chaine de Cunningham (formée de nombres premiers de Sophie Germain)

Liens externes

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