En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro établit une condition suffisante d'existence de limite d'une suite. Un cas particulier de cette version discrète de la règle de l'Hôpital, donne d'ailleurs une démonstration séquentielle de la seconde généralisation de la règle de l'Hôpital, à l'aide du cas du théorème de Stolz-Cesàro. est le lemme de Cesàro.

Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz. et Ernesto Cesàro..

Énoncé Soient et deux suites réelles, se trouvant dans l'un des deux cas suivants.. : (cas ) : strictement décroissante, ; (cas ). : strictement croissante et .

L'énoncé reste vrai si sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé, mentionnent le cas pour un espace vectoriel normé..

Reformulation En posant et dans le cas et et dans le cas 0/0, l'énoncé devientPour une démonstration du théorème sous cette forme, voir par exemple le chapitre « Théorème de Stolz-Cesàro » de la leçon sur les séries sur Wikiversité. :

Exemples Voici deux applications du cas . Le lemme de Cesàro s'obtient en posant . Soit . Sachant queen posanton trouve (réimpr. de l'éd. de 1978, révisée et traduite de , Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Springer, Berlin, 1925), Pt. I, ex. 71, p. 17 et 192. :(Pour entier, il s'agit du coefficient dominant du polynôme de la formule de Faulhaber.)

Généralisations du cas

Soient et deux suites réelles, avec et . Alors, les limites inférieure et supérieure de encadrent celles de la suite des quotients de sommes partielles des deux sériesPour une démonstration, voir par exemple ou le chapitre « Théorème de Stolz-Cesàro » de la leçon sur les séries sur Wikiversité. : Soient () des réels positifs tels queet la transformation linéaire sur les suites bornées définie parUne condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation soit régulière, c'est-à-dire pour qu'elle vérifieest. L'exercice préliminaire 66, p. 16 et 191, traite du cas triangulaire. Dans la partie III, l'exercice 44, p. 111 et 307-308, concerne un cas triangulaire plus général, où les ne sont plus des réels positifs mais des complexes. Pour le cas complexe non triangulaire, voir et . :Dans le cas triangulaire inférieur, c'est-à-dire lorsque dès que , la transformation s'étend aux suites non bornées, et si la condition de régularité est satisfaite alors l'implication (✻) est encore vraie pour .

Notes et références

Voir aussi

Catégorie:Suite Stolz Cesaro