En mathématiques, une chaîne de Cunningham est une suite finie de nombres premiers vérifiant une certaine propriété. Les chaînes de Cunningham portent le nom du mathématicien indo-britannique Allan Cunningham (1842-1928).

Présentation Une chaîne de Cunningham de première espèce est une suite finie de nombres premiers telle que pour tout , . (Chacun des termes d'une telle chaîne excepté le dernier d'entre eux est un nombre premier de Sophie Germain). De manière similaire, une chaîne de Cunningham de deuxième espèce est une suite de nombres premiers tels que pour tout , .

Les chaînes de Cunningham se généralisent en les suites de nombres premiers telles que pour tout , pour des entiers premiers entre eux fixés ; les chaînes résultantes sont appelées chaînes de Cunningham généralisées.

Une chaîne de Cunningham est dite complète si elle ne peut pas être étendue davantage, c'est-à-dire s'il n'existe aucun nombre premier qui pourrait suivre le dernier terme de la chaîne, ou précéder le premier.

Exemples

Exemples de chaînes complètes de Cunningham du premier type :

(le nombre suivant serait mais n'est pas premier). (le nombre suivant serait mais n'est pas premier). (le nombre suivant serait ). (le nombre suivant serait ). (le nombre suivant serait ). Exemples de chaînes complètes de Cunningham du deuxième type :

(le nombre suivant serait mais n'est pas premier). (le nombre suivant serait ). (le nombre suivant serait ). (le nombre suivant serait ). En 2018, la plus longue chaîne de Cunningham connue, de l'un ou l'autre type, comporte 19 nombres ; elle a été découverte par Jaroslaw Wroblewski en 2014.

Longueur d'une chaine de Cunningham Si , la longueur d'une chaine de Cunningham est inférieure ou égal à ; celle commençant par 2 étant finie, il n’existe donc pas de chaine de Cunningham infinie.

En effet, (+ pour le premier type, - pour le deuxième) donc . Mais d'après le petit théorème de Fermat () : , donc divise qui n'est donc pas premier.

Notes et références

Voir aussi Liens externes The Prime Glossary : Cunningham chain sur les Prime Pages Prime Links + + : Cunningham chains sur les Prime Pages Suite de l'OEIS : le plus petit nombre qui est le premier terme d'une chaîne complète de Cunnigham de première espèce de longueur , pour Suite de l'OEIS : le plus petit nombre qui est le premier terme d'une chaîne complète de Cunnigham de deuxième espèce de longueur , pour

Catégorie:Nombre premier Catégorie:Suite d'entiers