En algèbre linéaire, un problème aux valeurs propres généralisé est une extension du problème de recherche de vecteurs et valeurs propres d'une matrice.
Soient A et B deux matrices carrées de dimension n×n. Le problème aux valeurs propres généralisé consiste à trouver un vecteur v (de dimension n) vérifiant
où λ est un scalaire. Un tel vecteur v est appelé « vecteur propre généralisé de A et de B », et le scalaire λ associé est appelé « valeur propre généralisée de A et de B ».
Notons le produit scalaire canonique hermitien de :
où l'opération u* désigne la transconjuguée de u. Alors, le problème aux valeurs propres généralisées peut aussi s'écrire :
Notons que ce problème peut avoir des valeurs propres généralisées nulles ou bien infinies.
Exemples d'applications
La résolution de certains problèmes aboutit à un problème aux valeurs propres généralisé. Par exemple : la régression elliptique : une ellipse peut se représenter par une équation matricielle, et la recherche de la « meilleure ellipse » passant par un nuage de points peut se faire en résolvant un problème aux valeurs propres généralisé (Fitzgibbon et coll.) ; lorsque l'on cherche à résoudre l'équation de Schrödinger pour des molécules dans le cas de couches électroniques ouvertes (c'est-à-dire dont la couche de valence n'est pas complète), on aboutit aux équations de Roothaan, qui peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé ; voir Méthode de Hartree-Fock restreinte pour couche ouverte ; la résolution d'un système d'équations différentielles pouvant s'écrire sous forme matriciellevoir Leborgne (2008) p. 6 :où A et B sont à symétriques à coefficients réels, A est définie positive, f est une fonction continue de R dans Rn et α0 est un vecteur (condition initiale). en mécanique, les problèmes de dynamique vibratoire conduisent à la résolution du problème aux valeurs propres généralisés suivant : avec : respectivement les matrices de raideur et de masse issues d'une discrétisation par éléments finis les pulsations propres de la structure discrétisée u les modes de déformation associés
Propriétés
Le scalaire λ doit vérifier l'équation :
Notons que l'ensemble des matrices de la forme est un faisceau de matrices linéaire ().
Supposons que le problème ait n solutions, c'est-à-dire que l'on ait n couples de valeurs propres-vecteurs propres , c'est-à-dire n vecteurs et n scalaires vérifiant
notons les composantes
et définissons les matrices P et D :
On a alors :
Cas particuliers
Si B est inversible
Si la matrice B est régulière, alors on peut réécrire le problème sous la forme d'un problème aux valeurs propres « classique » : B-1Av = λv mais il est en général préférable de résoudre directement le problème initial. En particulier, si A et B sont hermitiennes, alors la matrice B-1A n'est en général elle-même pas hermitienne ; la reformulation masque alors des propriétés importantes de la solution.
Notons que puisque B et P sont régulières, alors BP l'est aussi.
Si A et B sont hermitiennes et que B est définie positive
La matrice B étant définie positive, on peut définir le produit scalaire par :
le problème aux valeurs propres généralisé peut donc s'écrire :
Ce cas implique donc l'existence de n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λi, vi)1 ≤ i ≤ n, et : les valeurs propres généralisées λi sont réelles ; si deux vecteurs propres généralisés vi et vj (i ≠ j) ont des valeurs propres généralisées distinctes, alors vi et vj sont B-orthogonaux :, ce qui s'écrit également tvi désignant la matrice transposée et vi, soit encoretPBP = In, Donc (vi)1 ≤ i ≤ n est une base de vecteurs propres généralisés (ce n'est pas un problème défectif).
L'égalité A = (BP)DP-1 est donc la décomposition spectrale généralisée de A, analogue à la décomposition spectrale d'une matrice hermitienne : D est une matrice diagonale ; (BP)-1 = tP (puisque tPBP = In), ce qui « joue le rôle » de la matrice unitaire.
Mise en œuvre
De nombreux logiciels de calcul numérique ont développé des fonctions de résolution de problèmes valeurs propres généralisés. Citons par exemple :
Scilab [alpha, beta, P] = eigs(A, B); Cette fonction permet de traiter les cas dégénérés (valeurs propres nulles, s'il y a des zéros dans alpha, ou bien infinies, s'il y a des zéros dans beta). Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors : D = diag(alpha./betaa); À partir de la version 5.4, on peut utiliser pour les cas non dégénérés : [D, P] = eigs(A, B);
Matlab Pour les cas dégénérés, on peut utiliser [AA, BB, D, V, W] = qz(A, B); alpha = diag(AA); betaa = diag(BB); Les colonnes des matrices V et W contiennent les vecteurs propres généralisés.
Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors : D = diag(alpha./betaa); Et pour les cas non dégénérés : [P, D] = eig(A, B);
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Valeur propre, vecteur propre et espace propre Décomposition d'une matrice en éléments propres
Liens externes
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