Le nombre de Nusselt est un nombre adimensionnel utilisé pour caractériser le type de transfert thermique entre un fluide et une paroi. Il met en rapport le transfert par convection par rapport au transfert par conduction. Il est d'autant plus élevé que la convection prédomine sur la conduction.
Déterminer le nombre de Nusselt permet de calculer le coefficient de convection thermique à l'aide d'une corrélation, généralement obtenue expérimentalement, qui le lie
au nombre de Reynolds et au nombre de Prandtl en convection forcée ; au nombre de Rayleigh en convection naturelle.
Définitions
Nombre de Nusselt local Le nombre de Nusselt local est défini de la manière suivante :
,
avec :
: coefficient de transfert thermique ou coefficient de convection (W·m-2·K-1) en un point particulier de la surface ; : longueur caractéristique (m) ; elle est la même que celle utilisée pour le nombre de Reynolds ; : conductivité thermique du fluide (W·m-1·K-1).
La longueur caractéristique dépend de la géométrie de la surface d'échange. Par exemple :
dans le cas d'une plaque plane, on prendra l'abscisse à compter du bord d'attaque de la plaque, dans le cas d'un écoulement dans une conduite, on prendra le diamètre intérieur de la canalisation, ou le diamètre hydraulique si la conduite n'a pas une section circulaire.
Le nombre de Nusselt local peut également s'écrire sous la forme d'un gradient de température adimensionné à la paroi.
En posant et , on obtient à partir de l'équation de définition du coefficient de transfert :
, avec la température du fluide en une position donnée, la température de surface de la paroi et la température du fluide à grande distance de la paroi.
Nombre de Nusselt global Le nombre de Nusselt global permet de calculer le coefficient de convection moyen sur la totalité de la surface. Il s'exprime :
,
où de sorte que le flux thermique soit .
Corrélations
En convection forcée L'application du théorème de Buckingham à un problème de convection forcée, pour un écoulement établi en vitesse et en température avec un fluide dont les propriétés thermomécaniques sont constantes, fait apparaître trois groupements ou nombres sans dimension en relation sous la forme suivante :
,
avec :
le nombre de Reynolds, le nombre de Prandtl qui ne dépend que des propriétés du fluide, où
est un ordre de grandeur de la vitesse du fluide (), est la masse volumique du fluide (), est la viscosité dynamique du fluide ( ou ), est la viscosité cinématique (), est la capacité thermique massique à pression constante (en ), est la diffusivité thermique ().
Cette somme représente une fonction , nommée corrélation car elle ne peut être, le plus souvent, précisée que par l'expérience. Dans ce cas, la forme prise par la corrélation peut être différente de l'expression simple proposée plus haut. De façon générale toutefois, la littérature scientifique fournit des fonctions selon les différentes conditions étudiées :
et/ou .
L'objectif est, en général, de déterminer le nombre de Nusselt afin d'en déduire le coefficient de transfert thermique local ou global par convection.
Les corrélations sont très nombreuses et il est difficile d'en dresser une liste exhaustive ; en voici néanmoins quelques exemples. GéométrieCorrélationConditionsÉcoulement parallèle à une surface plane isotherme est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (local)
(moyen entre 0 et )Écoulement laminaire et Écoulement turbulent et Écoulement perpendiculaire à un cylindre isothermeHilpert :
et et et et et Écoulement dans un tube de paroi isothermeRégion thermique pleinement développée : .Écoulement dans un tube à densité de flux thermique pariétal constant
En convection naturelle Pour l'étude de la convection naturelle, le nombre de Reynolds n'a pas de sens puisque le fluide est au repos à distance de la paroi. Le nombre de Grashof est utilisé à sa place :
,
où :
est l'accélération de la pesanteur () ; est le coefficient de dilatation () ; est la différence de température entre la paroi et le fluide au repos à distance de la paroi ().
Le nombre de Rayleigh lui est associé par : .
Dans les cas les plus simples la corrélation prend la forme . mais de façon plus générale on pourra rencontrer des fonctions plus sophistiquées :
et/ou .
Quelques exemples sont proposés dans le tableau qui suit. Un recueil plus important est fourni en boite déroulante plus loin. GéométrieCorrélationConditionsSurface plane verticale isotherme est l'abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine
(en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide) et Écoulement laminaire et Écoulement turbulentRésultats obtenus analytiquement
Écoulement laminaireCylindre horizontalMorgan :
et et et et et
CorrélationConditionsSurface plane verticale isotherme : température de la paroi isotherme. : hauteur de la paroi.
: abscisse en prenant le bord d'attaque comme origine (en bas pour une paroi chaude, en haut pour une paroi froide).
Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température .
: nombre de Nusselt local à l'abscisse .
: nombre de Nusselt moyen entre le bord d'attaque et l'abscisse .
: nombre de Nusselt moyen sur la hauteur de la paroi. et Écoulement laminaire et Écoulement turbulentRésultats obtenus analytiquement
Écoulement laminaireChurchill et Chu
est pratiquement uniforme en régime turbulent.Pour tous types d'écoulementsChurchill et Chu
Écoulement laminaireSurface plane verticale à flux thermique constant : densité de flux thermique en n'importe quel point de la surface. : nombre de Grashof modifié.Sparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet
Écoulement laminaireSparrow et Gregg, Vliet et Liu, Vliet
Écoulement laminaireChurchill et Chu
Bonne approximation localement
.Pour tout type d'écoulementSurface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le hautL'inclinaison de la surface d'échange est caractérisée par l'angle pris entre la verticale et la surface ; il est positif si la surface chaude est orienté vers le bas et négatif dans les cas contraires. En régime laminaire et dans les cas d'une surface chaude orientée vers le bas ou d'une surface froide orientée vers le haut, les relations précédentes, utilisables dans le cas d'une surface plane verticale, sont applicables à condition de remplacer par .La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions :
. remplacé par pour le calcul de . pour Pour les faibles inclinaisons :
. calculé à partir de et non . pour
pour Surface plane inclinée à température constante : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le basLa couche limite est plus instable dans ces conditions, il est plus fréquent d'avoir recours à des corrélations expérimentales.La corrélation de Churchill et Chu reste valable dans certaines conditions :
. remplacé par pour le calcul de . pour Raithby et Hollands :
. et Pour les gaz si est grand, Clausing et Berton : si Surface plane inclinée à densité de flux constante : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut et Pour les faibles inclinaisons :
. calculé à partir de et non . et Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le basCertaines corrélation préconisent l'utilisation de comme: longueur caractéristique, rapport de la surface sur le périmètre. D'autre simplement la longueur . Les propriétés thermophysiques du fluide sont évaluées à une température si la température de la surface d'échange peut être considérée constante. et Ecoulement laminaire et et Surface plane horizontale isotherme : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas et Ecoulement laminaire et
et Ecoulement turbulentRaithby et Hollands :
. et Pour les gaz si est grand, Clausing et Berton : si Raithby et Hollands :
.
Si une correction est proposée :
.Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le bas ou surface froide vers le haut et Surface plane horizontale à densité de flux constant : surface chaude vers le haut ou surface froide vers le bas et et Cylindre horizontal isothermeMorgan :
et et et et et Churchill et Chu :
.Pour une plus large gamme d'utilisations :
.Cylindre vertical isothermeIl est possible d'utiliser les mêmes corrélations que pour une surface plane isotherme, le coefficient de convection est obtenu par l'intermédiaire d'un facteur correcteur de sorte que :
, .
est le rayon du cylindre, son diamètre et sa longueur.Sphère isothermeYuge :
.Dans un gaz et Autre corrélation pour tous types de fluides :
. et
Notes et références
Annexes Bibliographie . . . . . .
Articles connexes chaleur convection analyse dimensionnelle Ernst Kraft Wilhelm Nusselt Nombre de Reynolds Nombre de Prandtl Nombre de Grashof
Nusselt