thumb|Pierre de Fermat (1601-1665) affirme que l'équation de Pell-Fermat possède toujours une infinité de solutions si m = ±1, sans savoir que Bhāskara II (1114-1185) avait fait de même, ..
En mathématiques et plus précisément en arithmétique, l'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne polynomiale quadratique. Si est un entier positif qui n'est pas un carré parfait et un entier non nul, l'équation prend la forme suivante :
Les solutions recherchées sont les solutions telles que et soient des valeurs entières.
L'équation de Pell-Fermat est étudiée sous différentes formes par plusieurs civilisations comme la Grèce antique, l'Inde ou la civilisation arabe. La solution définitive est relativement tardive, elle est trouvée en Europe durant le .
Une forme particulièrement étudiée est celle où le paramètre est égal à 1 ou à –1 (ce qu'on note ±1). Plusieurs algorithmes permettent de déterminer une solution ; la méthode chakravala ou celle des fractions continues sont les plus célèbres.
En France, cette équation est nommée équation de Fermat, de Pell-Fermat, ou de Pell, en l'honneur des mathématiciens John Pell et Pierre de Fermat. C'est à Leonhard Euler que l'on doit l'association du nom de Pell à cette équation, à la suite d'une confusion car ce mathématicien n'a pas travaillé sur cette équation. La traduction de la dénomination équation de Pell est d'usage général hors du monde francophone.
L'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique » propose une méthode de résolution si = ±1, ainsi que l'exemple pour = 61. L'article Méthode chakravala propose une autre méthode comparable, plutôt plus simple et plus rapide, à la fois pour la théorie et la pratique. Les exemples = 61, 83, 103 et 313 y sont traités.
Histoire Origines L'histoire de l'équation de Pell-Fermat est particulièrement riche et ancienne. On cite parfois le problème des bœufs d'Hélios attribué à ArchimèdeCe problème est explicité dans le site Les Bœufs d'Hélios par Lycos. Il est décrit dans l'ouvrage : Archimède Tome 3, Des corps flottants. Stomachion. La méthode. Le livre des lemmes. Le problème des bœufs ; éd. et tr. Charles Mugler, Paris, Les Belles Lettres, 1971 (Collection des Universités de France), 324 p. . comme premier exemple d'équation de Pell-Fermat. Il est cependant peu probable qu'Archimède en soit l'auteur et que la relation avec ladite équation ait été faite. En revanche, Diophante d'Alexandrie, un mathématicien vivant probablement au , parle explicitement d'une équation de cette nature, dans son livre intitulé Arithmétiques. Avec les notations du paragraphe Définitions, il étudie le cas où est égal à 1 et à 1, –1 ou 12 ainsi que le cas où et sont égaux à 9, vol. 2.. Dès avant notre ère, les Grecs connaissaient l'existence de l'égalité suivante H. M. Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, éd., 2000 . :
Le mathématicien indien Brahmagupta (598-668) semble être le premier à travailler profondément sur la question, il étudie le cas où = 1. En 628, il établit une égalité permettant, à l'aide de deux solutions de l'équation, d'en construire une troisième, éd., 2004, .. Ainsi, en combinant deux fois la même solution, il en obtient une nouvelle et ainsi de suite, ce qui donne un nombre de solutions aussi grand que désiré. Cette méthode lui permet d'aller plus loin. À l'aide d'un couple d'entiers tel que soit égal à ±2, Brahmagupta construit une solution. Puis à l'aide d'un algorithme guère plus complexe, il obtient un résultat analogue si est égal à ±4. Par tâtonnements, il parvient à trouver des solutions dans de nombreuses configurations. Son outil principal est l'algorithme d'Euclide, généralement nommé par les Indiens le pulvérisateur car il casse les nombres en morceaux de plus en plus petits..
L'étape suivante est franchie par Bhāskara II, un mathématicien indien du . Il enrichit la palette de techniques de Brahmagupta, et présente une méthode complète, nommée chakravala. Elle correspond à un algorithme astucieux permettant de déterminer une solution primitive, c'est-à-dire une solution qui génère toutes les autres G. G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, éd., Penguin Books, 2000 .. Il n'est pas dans l'usage des mathématiciens indiens de cette époque de rechercher une preuve autre qu'expérimentale. Quant à l'exhaustivité de l'ensemble des solutions trouvées, la question n'est pas non plus abordée.
L'Europe et l'âge classique thumb|Joseph-Louis Lagrange démontre l'existence d'une infinité de solutions si et montre que l'algorithme des fractions continues permet de les obtenir toutes.
La popularité de cette équation provient d'un défi que Pierre de Fermat lance à Bernard Frénicle de Bessy en février 1657 (à la suite d'un autre défi plus célèbre datant du 3 janvier de la même année) ; il lui pose plusieurs questions dont celle d'une solution à l'équation de Pell-Fermat, déjà trouvée par Brahmagupta et Bhāskara II, elle correspond au cas = 61 et = 1 (il propose également le cas = 109)Œuvres de Fermat, .. Une communication épistolaire s'ensuit, finalement publiée par John Wallis John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum, Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658., entre Kenelm Digby, William Brouncker et Wallis pour l'Angleterre, Frans van Schooten pour la Belgique et Bernard Frénicle de Bessy pour la FranceCes informations sont extraites de la page Pierre Fermat sur le site de la commune de Beaumont-de-Lomagne.. Elle nous indique que Brouncker découvre une méthode équivalente à celle des Indiens, sans néanmoins apporter plus de preuves que ses prédécesseurs. Frénicle de Bessy calcule l'intégralité des solutions pour n inférieur ou égal à 150, mais ses travaux sont perdus. Il défie Brouncker avec une valeur de 313 pour . Brouncker propose une solution primitive, et précise qu'il ne lui a pas fallu plus « d'une heure ou deux » pour trouver. La réponse est la suivante :
Wallis démontre rigoureusement les résultats de Brahmagupta, c'est-à-dire la raison qui permet de trouver une solution si la valeur atteinte est 2 ou 4 en valeur absolue. En 1658, Johann Heinrich Rahn publie un livre d'algèbre, contenant un exemple d'équation maintenant dite de Pell-Fermat J. H. Rahn, Teutsche Algebra, 1659., relu et traduit en anglais par John Pell (1611-1685). C'est la seule contribution connue du mathématicien sur l'équation portant maintenant son nom.
Plusieurs mathématiciens affirment qu'il existe une solution pour toute valeur de (à condition de choisir égal à 1) John Wallis, Treatise on Algebra, Londres, 1685, chap. 98., Fermat affirme de plus que le nombre de solutions est infini. En revanche aucune preuve de cette époque n'est connue.
Leonhard Euler (1707-1783) reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, proposant le formalisme de la fraction continue, . Seule la fin est différente ; une fois trouvée une valeur égale à ±2 ou ±4 en valeur absolue, il est en effet plus rapide d'utiliser le lemme de Brahmagupta. Euler attribue à tort les travaux passés à Pell. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) reprend les travaux d'Euler et ajoute les deux preuves manquantes. Il démontre que pour toute valeur de il existe une infinité de solutions et que toutes ces solutions sont générées par celle issue de l'algorithme des fractions continues, « Solution d'un problème d'arithmétique », 1766-1769. Voir aussi les Additions de Lagrange aux Élémens d'algèbre par Léonard Euler, tome 2 : de l'analyse indéterminée, éd., Bruyset et Desaint, 1774, p. 379-658 + 662-664 et éd., Bruyset, 1798, p. 379-662 + 666-668, réédités dans : .. Durant toute cette époque, l'Europe est inconsciente des travaux de leurs prédécesseurs indiens.
thumb|Richard Dedekind formalise le concept d'anneau portant maintenant son nom et élucide les propriétés permettant de résoudre l'équation de Pell-Fermat. La méthode chakravala ou celle des fractions continues ont apporté tout ce qu'elles pouvaient sur cette équation, ce qui revient à traiter le cas du paramètre égal à ±1. Le cas général demande de nouvelles idées et un siècle est encore nécessaire pour en venir à bout. Une approche fondatrice est l'œuvre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Il travailleCette approche est développée dans ses Disquisitiones arithmeticae, 1801. sur des structures munies d'une addition et d'une multiplication, mais qui ne sont pas celles de l'anneau des entiers. Une de ces structures est celle des entiers de Gauss, c'est-à-dire des nombres de la forme a + b où a et b sont des entiers et l'unité imaginaire des nombres complexes. Un tel monde possède une division euclidienne, ce qui permet d'établir le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide ainsi que le théorème fondamental de l'arithmétique. Un tel anneau possède des nombres premiers de Gauss, et une approche similaire à celle de l'arithmétique dans est possible. Cette approche est maintenant le cadre d'une théorie appelée arithmétique modulaire. Une démarche de cette nature permet de venir à bout d'une équation diophantienne semblable à celle de Pell-Fermat, traité par le théorème des deux carrés de Fermat. Si est remplacé, par exemple par le nombre d'or, égal à (1 + )/2, on obtient une structure un peu similaire, aussi euclidienne, correspondant à l'équation de Pell-Fermat pour le paramètre égal à 5, et il est possible d'y traiter l'équation pour toute valeur du paramètre , à condition de disposer de la loi de réciprocité quadratique, démontrée par Gauss. Cette loi correspond encore à une équation diophantienne un peu similaire.
Les travaux de Gauss apportent deux progrès : ils offrent un bon cadre pour étudier l'équation de Pell-Fermat et ils permettent de la résoudre intégralement dans le cas où ce cadre est euclidien. Il existe cependant de nombreux cas où le caractère euclidien est absent. Ce cadre, euclidien ou non, porte le nom d'anneau d'entiers algébriques et pour la résolution de l'équation de Pell-Fermat, une petite partie est utile, ceux formés par des entiers quadratiques. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) étudie et explicite leur groupe des unités dans le cas général. Ce groupe correspond exactement aux solutions de l'équation de Pell-Fermat pour = ±1, fournissant une preuve différente de celle de Lagrange, et qui se généralise à tous les anneaux d'entiers algébriques et non pas uniquement quadratiques J. P. L. Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 1863 Lire.. Si ce résultat fait progresser la théorie des nombres, il ne permet pas de débloquer la question de l'équation de Pell-Fermat dans le cas général, car il ne concerne que les solutions pour le paramètre égal à ±1.
Si les techniques de Gauss fonctionnent, c'est grâce à l'équivalent des nombres premiers et au théorème fondamental de l'arithmétique, que l'on trouve dans tout anneau euclidien. Des anneaux disposant de propriétés ou d'axiomes plus faibles ont un équivalent, on les appelle les anneaux factoriels. Dans le cas général, un anneau d'entiers algébriques n'est ni euclidien ni factoriel. Richard Dedekind (1831-1916), à la suite des travaux de Ernst Kummer (1810-1893), trouve la bonne approche. Il met en évidence les axiomes que vérifient les bons anneaux d'entiers algébriques, lesquels portent maintenant le nom d'anneaux de Dedekind. À l'aide de cette nouvelle structure, il établit un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétiqueRichard Dedekind, Traités sur la théorie des nombres, trad. C. Duverney, Tricorne, Genève, 2006 .. Un deuxième théorème, traitant du groupe des classes d'idéaux permet de trouver toutes les solutions de l'équation de Pell-Fermat et pour toutes valeurs de R. Dedekind, « Zur Theorie der Ideale », Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen, 1894, ..
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