Une méthode quasi-Newton est une méthode numérique utilisée pour résoudre des systèmes d'équations non linéaires, reposant sur un principe similaire à la méthode de Newton. Typiquement, le problème que résout une méthode quasi-Newton est la recherche d'un zéro d'une fonction à valeurs vectorielles dont on ne connaît pas forcément l'expression analytique de la matrice jacobienne ou de la hessienne.
Principe de la méthode quasi-Newton
Le problème posé est le même que celui d'une méthode de Newton : rechercher, pour une fonction , les solutions tels que . Pour de tels problèmes, il est en général possible d'utiliser la méthode de Newton-Raphson, dont les itérations sont
où désigne la matrice jacobienne de en . En dimension 1, on retrouve l'expression de la méthode de Newton-Raphson classique. Celle-ci pose quelques problèmes pratiques : si la dimension du système est grande, le calcul de la matrice jacobienne peut prendre trop de temps de calcul, de même, la résolution du système linéaire est une opération coûteuse en calculs.
L'idée des méthodes quasi-Newton est de remplacer par une matrice plus facile à calculer, et à laquelle on peut imposer certaines propriétés.
Le fait qu'elle soit une approximation de l'inverse du jacobien se traduit par la relation de quasi-Newton , ce qui est manifestement la généralisation du coefficient utilisé dans la méthode de la sécante.
Les itérations des méthodes de quasi-Newton sont alors de la forme suivante :
Le paramètre réel est un coefficient choisi pour optimiser la convergence, et est mise à jour à chaque itération selon une formule particulière. Selon les méthodes de quasi-Newton, la formule de mise à jour varie.
Souvent on applique la méthode à la recherche d'un minimum d'une fonction que l'on traduit en la recherche de . Dans ce cas il est naturel d'imposer à la matrice qu'elle soit symétrique, car elle correspond alors à la matrice hessienne de .
Méthode de Broyden
Ici la mise à jour de la matrice s'écrit
avec , . Cette méthode s'applique au cas général où le jacobien n'a pas de raison d'être symétrique.
Méthode de Davidon-Fletcher-Powell C'est historiquement la première méthode quasi-Newton appliquée à l'optimisation, c'est-à-dire au calcul d'un extremum d'une fonction. Par conséquent, elle impose la symétrie des matrices . En effet, ici ces matrices sont censées représenter une approximation de l'inverse de la matrice hessienne de la fonction à minimiser. La symétrie de ces approximations est assurée par le fait qu'on utilise une mise à jour d'une forme particulièrement simple, .
On initialise et assez proche de la solution qu'on cherche. Les itérations sont les suivantes :
On calcule d'abord la direction de déplacement le coefficient s'en déduit, il est nécessairement strictement positif et choisi pour minimiser on trouve le k+1 terme de la suite est calculé par la formule de Davidon-Fletcher-Powell
avec, comme ci-dessus, , .
Voir aussi Méthode de Newton Méthode de la sécante Critères de Wolfe
Sources
Quasi-Newton Catégorie:Isaac Newton