En arithmétique, un nombre premier primoriel est un nombre premier de la forme n# + 1 (nombre d'Euclide) ou n# – 1, où n# désigne la primorielle d'un entier naturel n (produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n).
Pour la même valeur de n, l'existence d'un nombre premier primoriel de l'une des deux formes n'implique pas l'existence d'un nombre premier primoriel de l'autre forme, et les nombres d'Euclide ne sont pas tous premiers.
Exemples Le produit vide étant égal à 1, le nombre d'Euclide 0# + 1 = 1# + 1 vaut 2. C'est donc le plus petit nombre premier primoriel.
Le k-ième nombre premier étant noté p, on remarque que pour n strictement compris entre p et p, . Les nombres premiers primoriels supérieurs ou égaux à 3 sont donc à chercher parmi les p# ± 1: les six plus petits indices k pour lesquels p# – 1 est premier (une partie de la ) sont 2, 3, 5, 6, 13, 24 ; les six nombres premiers p correspondants () sont 3, 5, 11, 13, 41, 89 ; les sept plus petits indices k pour lesquels le nombre d'Euclide p# + 1 est premier (une partie de la ) sont 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75 ; les sept nombres premiers p correspondants () sont 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379.
Après le nombre premier primoriel 2, les douze plus petits nombres premiers primoriels (dont six nombres d'Euclide) sont donc donnés dans les deux dernières colonnes de la table suivante :
kpp# – 1p# + 112 3235735293147 2115112 3092 31161330 029 1131 200 560 490 1311341304 250 263 527 209248923 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 309
En 2010, les deux plus grands nombres premiers primoriels connus étaient : pour la seconde forme, le nombre d'Euclide pour la première forme, le nombre . En 2012, ce record fut dépassé, pour la première forme seulement, avec un nombre à chiffres décimaux. En 2020, on ignore s’il existe des paires de premiers jumeaux de cette forme après 2309 et 2311, et à plus forte raison s’il en existe un nombre infini, ce qui confirmerait une conjecture très ancienne.
Références
Catégorie:Nombre premier