Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils (1715-1797). :
Énoncé
Démonstration
Soit le triangle donné. On cherche les points sur les côtés respectivement, de sorte que le périmètre de soit minimal.
On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point arbitraire sur , afin de déterminer les points et sur et respectivement, tels que soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de ). Soit l'image de par la réflexion d'axe et d'axe . Alors , et . En posant , on en déduit . De plus, , puisque , par définition. Par conséquent, la droite coupe les côtés et de aux points et respectivement et le périmètre de est égal à la distance . D'une manière analogue, si est un point quelconque sur et un point quelconque sur , le périmètre de est égal à la longueur de la ligne brisée , qui est supérieure ou égale à . Ainsi, le périmètre de est supérieur ou égal au périmètre de et l'égalité a lieu précisément lorsque et .
Ainsi, il faut trouver un point de de sorte que soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle avec comme angle constant au point et comme côtés . Ainsi, il faut choisir sur de sorte que soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque est le pied de la hauteur issue de .
vignette|centré|upright=1.8
On peut voir alors maintenant que si est le pied de la hauteur issue de , alors et sont les pieds des deux autres hauteurs de . Pour prouver cette assertion, on note et les pieds des hauteurs de passant par et respectivement. Alors
ce qui montre que le point appartient à la droite . D'une manière analogue, appartient à la droite et donc et .
vignette|centré|upright=1.8
En conclusion, de tous les triangles inscrits à , celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de .
La valeur du périmètre de ce triangle est donnée dans l'article sur le triangle orthique.
Cas du triangle obtusangle
Lorsque est obtusangle, le triangle est tel que sont confondus avec , et est le pied de la hauteur issue de . Dans ce cas, on dit que est dégénéré.
Notes et références
Catégorie:Géométrie du triangle Catégorie:Optimisation