En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité. Définition formelle Soit une catégorie monoïdale. On note le produit tensoriel opposé à , c'est-à-dire le bifoncteur défini par . On appelle tressage sur un isomorphisme naturel de vers . Autrement dit, pour tous objets de , induit un isomorphisme
Représentation des groupes de tresses Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, .
Si est un objet de , quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet . Puisque les sont tous égaux à , on a en particulier
où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, induit un isomorphisme
Ainsi, les applications pour peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de . On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes
qui envoie sur .
Articles connexes Produit tensoriel de deux modules
Notes et références
Catégorie:Théorie des catégories Catégorie:Groupes quantiques