En géométrie, une couronne ou plus précisément une couronne circulaire est une région du plan comprise entre deux cercles concentriques de rayons différents. Elle a deux rayons qui sont ceux de chacun des deux cercles. Une couronne sphérique ou couronne solide est une généralisation à trois dimensions de la couronne circulaire. C'est la région entre deux sphères concentriques de rayons différents. Elle a aussi deux rayons. On appelle épaisseur de la couronne la différence des deux rayons, qui vaut (notations de la première image).
Couronne circulaire L'aire d'une couronne circulaire est la différence entre les aires du plus grand disque de rayon et du plus petit du rayon :
Cette aire est le produit de la longueur du cercle situé au centre de la couronne, par l'épaisseur de la couronne : . Si est la demi-longueur d'une corde du grand cercle tangente au petit cercle, l'aire de la couronne est égale à l'aire d'un disque de rayon : . En effet d'après le théorème de Pythagore.
Paradoxe de l'aire d'une couronne D'après la propriété ci-dessus toutes les couronnes dont la corde tangente a une longueur donnée ont la même aire. Visuellement, le résultat est paradoxal, on imaginerait que l'aire du disque central est bien supérieure à celles des couronnes.
Couronne sphérique
Le volume d'une couronne sphérique est la différence entre les volumes de la plus grande boule de rayon et de la plus petite de rayon : . Ce volume est le produit de la moyenne de Héron des aires des sphères interne et externe, par l'épaisseur de la couronne :
.
Une approximation du volume d'une couronne sphérique mince est la surface de la sphère interne multipliée par l'épaisseur de la couronne :
quand t est très petit par rapport à r ().
Applications Une fonction holomorphe définie dans une couronne est développable en série de Laurent.
Références
Voir aussi
Théorème de Mamikon, généralisant la propriété de la corde tangente Paradoxe de la corde autour de la terre
Catégorie:Surface Catégorie:Géométrie euclidienne Catégorie:Cercle Catégorie:Sphère Catégorie:Paradoxe en mathématiques Catégorie:Analyse complexe