En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe opposé est une manière de construire un groupe à partir d'un autre en renversant l'ordre de son opération interne.
Plus précisément, si (G,*) est un groupe, on peut définir une autre opération interne sur G en posant
pour tous éléments g et g de G. Cela définit un groupe (G,*) appelé groupe opposé'''N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, ; Paris, Hermann, 1970, . du groupe G.
Propriétés (G,*) et (G,*) ont le même élément neutre. Le symétrique d'un élément g de G est le même pour la loi * ou la loi *. Le groupe opposé du groupe opposé de G est G lui-même. Un groupe est égal à son groupe opposé si et seulement s'il est commutatif. G est toujours isomorphe à son groupe opposé via l'application g ↦ g'' qui est un antiautomorphisme. La notion de groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.
Voir aussi
Antimorphisme Anneau opposé
Note et référence
Catégorie:Groupe