En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi-égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.
Introduction Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un nombre réel est proche d'un nombre entier, ou plus généralement proche d'un nombre rationnel avec un petit dénominateur. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.
Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou récréations mathématiques.
Quelques exemples La base 2 La coïncidence , vraie à 2,4 % près, renvoie à l'expression rationnelle , ou , vrai à 0,3 % près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec (en fait ), ou pour passer d' à ; voir Préfixe binaire. En utilisant comme approximation de on trouve les approximations suivantes pour les logarithmes d'autres valeurs : amène à (à comparer à 0,4771, vrai à 0,5 % près) amène à (à comparer à 0,8451, vrai à 0,6 % près)
Les intervalles musicaux
Les coïncidences et amènent à l'observation souvent utilisée en musique qui fait correspondre sept demi-tons de la gamme tempérée à une quinte de la gamme naturelle : , vrai à 0,1 % près. La quinte est la base de la gamme pythagoricienne et de la plupart des systèmes musicaux dans le monde. De l'approximation , il résulte que le cycle des quintes se termine sept octaves plus haut que l'origine. La quasi-équivalence entre les commas pythagoricien et syntonique : (23,46 cents) (21,50 cents) a des conséquences remarquables dans la construction des tempéraments, en particulier à l'époque baroque (voir Comma (musicologie)#Histoire et Comma pythagoricien#Utilisation).
Expressions numériques
Le nombre La première réduite de par fraction continue ; [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, était connue d'Archimède., et elle est vraie à environ 0,04 % près. La troisième réduite de , [3; 7, 15, 1] = = 3,1415929…, trouvée par Zu Chongzhi (et redécouverte par Metius), est vraie sur six décimales, soit 85 pour un milliard ; cette extrême précision avec deux nombres inférieurs à mille vient du fait que possède un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : = [3 ; 7, 15, 1, 292, …] La suite de la fraction continue est [3 ; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, ...] et avec le cinquième terme on obtient la , voir Collection of approximations for p. . ; , à 10 près ; juste sur huit décimalesDû à Srinivasa Ramanujan (). Ramanujan affirme que cette développée dans le reste de son article..
Le nombre
Formules avec et
() ; cela équivaut à ..
Formule avec , et le nombre d'or
.
Formules avec , et le nombre 163
Constante de Ramanujan : à 10 près..
Note : est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de , en particulier pour , ce qui est expliqué par la théorie algébrique des nombres. Voir « Nombre de Heegner » et « Nombre presque entier ».
Formule avec
.
Coïncidences sur les unités secondes est un nanosiècle (c'est-à-dire années) ; vrai à 0,5 % près. Un attoparsec par microquinzaine est approximativement 1 pouce par seconde (en réalité par seconde). Un furlong par quinzaine (14 jours) est approximativement égal à par minute. Un attoparsec cubique (un cube d'un attoparsec de côté) est à 1 % près égal à américaine. Un mille international (mile) est environ kilomètres (vrai à 0,5 % près), où est le nombre d'or. Puisque est la limite du ratio de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, cela donne une suite d'approximations de correspondances entre miles et kilomètres : mi = km, par exemple = , = . Une autre bonne approximation est : = . En effet, = et ln(5) = 1,6094379124341… NA ≈ 279, où NA est le nombre d'Avogadro ; vrai à environ 0,4 % près. Cela signifie qu' est approximativement un peu plus du double d'une mole d'octets. Ceci signifie également qu' de matière (c'est-à-dire de carbone), ou de gaz à température et pression normales, ne peuvent pas être divisés en deux plus de . La vitesse de la lumière dans le vide est d'environ un pied par nanoseconde (vrai à 2 % près), ou encore (vrai à 0,07 % près), ou enfin de km/h (vrai à 8 % près)
Autres curiosités numériques ou . , où est le nombre d'or (une égalité étonnante avec un angle exprimé en degrés). Voir Nombre de la bête.
est l'unique solution entière de (voir fonction W de Lambert pour une preuve formelle). et mais cela ne se généralise pas à d’autres exposants. 31, 331, 3331 jusqu'à 33333331 sont tous des nombres premiers, mais pas 333333331. Le nombre de Fibonacci F296182 est (probablement) un nombre semi-premier, puisque F296182 = F148091 × L148091 où F148091 () et le nombre de Lucas L148091 () sont deux nombres premiers probables David Broadhurst, sur les .. Dans le paradoxe des anniversaires, le nombre intervient ; il semble à certains auteurs Richard Arratia, Larry Goldstein et Louis Gordon, « », , , , 1990, . que ses quatre premiers chiffres soient ceux de .
Coïncidences décimales
. . , , et et
. (important dans le symbolisme numérique de la cathédrale Saint-Étienne de Vienne) . . et qui, arrondi à huit chiffres, fait 0,05882353Mentionné par Gilbert Labelle en 1980. Un nombre (parmi d'autres : ) qui égale la somme de ses chiffres aux puissances consécutives :
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Pour des coïncidences en physique, voir le principe anthropique. Nombre presque entier Nombre narcissique Loi forte des petits nombres
Liens externes
Des exemples de coïncidences mathématiques dans la section Science & Maths du site futilitycloset.com , Bande dessinée mathématique
Catégorie:Mathématiques récréatives