vignette|Bien que ce cercle puisse sembler illustrer la perfection, il est impossible de tracer un cercle parfait de 22/7 tel que celui-ci Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de . met fin à une discussion sur les fractions approchant avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte..

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que , nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Motivation

Une approximation diophantienne simple et courante de la valeur de est . En effet, on peut voir que :

Archimède avait démontré que surestimait au cours de mais utilisait cette approximation..

Une meilleure approximation rationnelle de est donnée par (approximation appelée ).

Démonstration Une démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale

Le nombre est strictement positif car la fonction est continue et strictement positive sur l'intervalle .

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

|(développement du numérateur)

|(Division euclidienne d'un polynôme)

|(intégration définie)

|(addition)

Dalzell. donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

ce qui donne après calcul

Démonstration similaire pour 355/113 Comme discuté dans , l'approximation diophantienne connue et bien meilleure pour peut se déduire de l'identité

avec

avec une erreur à la décimale. On peut également borner par :

Extensions On peut généraliser l'idée développée dans les calculs d'intégrales précédentes pour obtenir de meilleures approximations de ; voir et (les deux références ne donnent aucun calcul). Pour des calculs explicites, on considère, pour tout entier ,

où l'intégrale du terme du milieu vaut :

impliquant . La dernière somme apparait également dans la formule de Leibniz pour . Le terme de correction et la borne d'erreur sont donnés par :

où l'équivalent se déduit de l'approximation du coefficient binomial central par la formule de Stirling et montre la convergence rapide vers .

On détaille le calcul de ces intégrales : pour tous entiers et on a

En appliquant cette identité récursivement fois, il vient :

De plus,

où la première égalité se vérifie par téléscopage des termes pour , et par décalage d'indice dans la première somme.

En utilisant ces deux résultats :

Pour des entiers , en faisant une intégration par parties fois, on a :

En prenant , on a

En intégrant l'équation (1) entre 0 et 1 avec l'équation (2) et en utilisant , on en déduit l'équation voulue impliquant .

Les résultats pour sont donnés supra. Pour on a

et

ce qui donne , où les chiffres en gras des bornes coïncident avec celles de .

De même, pour ,

avec un erreur égale à

soit .

Pour , on a

avec

ce qui donne comme valeurs approchées .

Notes et références

Voir aussi Approximation de π

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